Fiinfte Periode. Projektive Geometrie. 197 



der Rechnung eine Menge geometrischer Satze, namentlich 

 solche, die invariante Eigenschaften ausdrucken, wie die Satze 

 fiber Doppelschnitts- und Dreiecksschnittsverhaltnisse. Die 

 analytisch gefundenen Satze suchte Mobius auch geometrisch 

 zu beweisen, und zu diesem Zweck fiihrte er mit aller Kon- 

 sequenz das Prinzip der Zeichen durch, welches ausdriickt, 

 dass fiir A, 1?, C als Pimkte einer Geraden AIR = _ZL4, 

 AB + BA - 0, AS + BC -f CA = ist. 



Unabhangig von Mobius, aber von denselben Prinzipien aus- 

 gehend, kam Bellamtis zu seiner neuen geometrischen Method e der 

 Aequipollenzen*). Zwei gleiche und gleichgerichtete parallele 

 Strecken AB und CD heissen aquipollent (nach der Bezeichnung von 

 Cayley AB = CD). Durch diese Annahme wird die ganze Theorie auf 

 die Betrachtung von Strecken, welche von einem festen Punkt aus- 

 gehen, zuriickgefiihrt. Ferner wird verlangt, dass AB -f BC = AC 

 sei (Addition). Endlich soil fiir die Strecken a, b, c, d und deren 

 Neigungen a, p, y, 8 gegen eine feste Axe die Gleichung a = be : d 

 nicht nur eine Beziehung zwischen Langen sein, sondern auch anzeigen, 

 dass a = p -f- y 8 ist (Proportion). Fiir d = 1 und a = wird dann 

 a = be, d. h. das Produkt der absoluten Werte fur die Langen ist a = be, 

 und zugleich ist a = p-|-Y (Multiplikation). Die Aequipollenz ist 

 demnach nur ein besonderer Fall der Gleichheit zweier Objekte, voll- 

 zogen an Strecken 108 ). 



Mobius fiihrte ferner die Betrachtung der ein- und 

 mehrdeutigen Verwandtschaft zweier geometrischen 

 Gebilde ein. Die eindeutige Verwandtschaft, bei welcher je 

 einem Punkt eines ersten Gebildes nur stets ein Punkt eines 

 zweiten Gebildes entspricht, und einem Punkt des zweiten 

 wieder nur ein Punkt des ersten, nannte Mobius Collinea- 

 tion; er konstruierte sich nicht bloss ein collineares Abbild 

 der Ebene, sondern auch des gewohnlichen Raums. 



Die neuen und fundanientalen Gedanken, welche Mobius 



*) Bellavitis, Saggio di Applicazioni di un Nuovo Metodo di 

 Geoinetria Analitica (Calculo delle Equipollenze). Ann. Lomb, Veneto, 

 t. 5. 1835. 



