Fiinfte Periode. Projektive Geometrie. 199 



in seinen Konsequenzen verfolgte 13 ). Die analytisch 

 geometrischen Un tersuchungen erschienen 1828. 

 Durch dieses Werk wurde die Methode der symbolischen 

 Bezeichnung und der unbestimmten Coefficienten fur die 

 Geometrie geschaffen , wodurch man von der Notwendigkeit 

 befreit war, bei der Betrachtung der gegenseitigen Verhalt- 

 nisse zweier Gebilde stets auf das Coordinatensystem Ruck- 

 sicht nehmen zu mtissen, so dass mit den Gebilden selbst 

 operiertwerdenkonnte. DasSystem der analy tischen 

 Geometrie von 1835 bringfc neben der ausgiebigen An- 

 wendung der abgekiirzten Bezeichnung eine vervollstandigte 

 Einteilung der ebenen Kurven dritter Ordnung; und in 

 der Theorie der algebraischen Kurven von 1839 

 traten ausser einer Untersuchung iiber ebene Kurven vierter 

 Ordnung jene analy tischen Beziehungen zwischen den gewohn- 

 lichen Singularitaten ebener Kurven auf, welch e allgemein 

 als Plucker 'sche Formeln bekannt sind. 



Diese Plucker' schen Formeln *), welche zunachst nur fur 

 ebene algebraische Kurven und deren vier sich paarweise 

 dualistisch entsprechende Singularitaten (Riickkehrpunkt, 

 Doppelpunkt, Wendetangente , Doppeltangente) Giiltigkeit 

 haben, sind von Cayley auf Kurven mit hoheren Singularitaten 

 ausgedehnt worden. Mit Hilfe von Reihenentwicklungen 

 leitete er vier Aequivalenzzahlen ab, welche erkennen lassen, 

 wie viefe der elementaren Singularitaten von einem singu- 

 laren Punkt hoherer Ordnung absorbiert werden , und wie 

 der Ausdruck fiir das Geschlecht der Kurve davon beeinflusst 

 wird. Bestatigt, erweitert und in den Beweisen vervollkommnet 

 wurden Cayley 's Resultate durch Arbeiten von Noiher, Zeuthen, 

 Halphen und Smith. Die aus der Cayley 1 schen Anschau- 

 ungsweise entspringende fundament ale Fr age, ob und 



*) A. Brill, Ueber Singularitaten ebener algebraischer Kurven 

 und eine neue Kurvenspecies, Mathem. Annalen XVI, 



