Fiinfte Periodc. Projektive Geometrie. 201 



fach unendliches System von Punkten oder Ebenen, anderer- 

 seits aber als spezieller Fall eines Komplexes ein dreifach 

 imendliches System von Geraden, den Tangenten der Flache; 

 als besonderer Fall entsteht hier die windschiefe Flache oder 

 Regelflache. Ausserdem tritt noch die Kongruenz als 

 zweifach, derKomplex als dreifach unendliches System von 

 Geraden auf. Die Raumgeometrie umfasst eine Anzahl 

 von Tbeorien, zu welchen die ebene Geometrie nichts analoges 

 aufzuweisen hat. Dazu gehoren die Beziehungen einer Raum- 

 kurve zu den Flachen, welche durch sie gelegt werden konnen, 

 oder einer Flache zu den auf ihr liegenden Linien doppelter 

 Krummung. Zu den Krummungslinien einer Flache bietet 

 sich in der Ebene nichts entsprechendes dar; und der Be- 

 trachtung der Geraden als ktirzester Verbindungslinie zweier 

 Punkte der Ebene stehen ina Raum zwei umfassende und 

 schwierige Theorien gegeniiber , jene der geodatischen Linie 

 auf einer gegebenen Flache, und jene der Minimalflache 

 zwischen gegebener Umgrenzung. Es ist besonders noch die 

 Frage nach der analytischen Darstellung einer Raumkurve, 

 welche Schwierigkeiten bietet, da ein solches Gebilde nur fur 

 den Fall, dass es der vollstandige Schnitt zweier Flachen ist, 

 durch zwei Gleichungen zwischen den Coordinaten x, y, z 

 dargestellt werden kann. Gerade nach dieser Richtung hin 

 gehen neuere Untersuchungen von Nother, Halphen und 

 Valentiner. 



Vier Jahre nach den analytisch geometrischen Unter- 

 suchungen Plucker's^ im Jahre 1832, trat Steiner mit der 

 systematischenEntwicklungderAbhangigkeit 

 geometrischer Gestalten vor die Oeffentlichkeit. Die 

 ganze Lehre von den Kegelschnitten fand Steiner konzentriert 

 in dem einzigen Satz (mit seinem dualistisch entsprechenden), 

 dass eine Kurve zweiter Ordnung, als Schnitt zweier kollinearen 

 oder projektivischen Biischel entsteht, und so wurde durch 



