Fiinfte Periode. Abbildung. 209 



hinreichenden Zahl von Bedingungen genugen en thai t der 

 Kalkiil der abzahlenden Geometrie von H. Schubert (1879). 



Die einfachsten Falle der eindeutigen Verwandtschaft oder 

 eindeutigen Abbildung beziehen zwei zusammengefallene 

 Ebenen auf einander ; es sind dies die von Poncelet studierte 

 Aehnlichkeitund die von Mobius, Magnus und Chasles behan- 

 delte Kollineation 69 ). In beiden Fallen entspricht einem Punkt 

 wieder ein Punkt, einer Geraden erne andere Gerade. Von diesen 

 linearen Transformationen gingen Poncelet, Pliicker, Magnus, 

 Stciner zu den quadratischen iiber, indem sie zunachst ein- 

 deutige Verwandtschaften zwischen zwei getrennten Ebenen 

 untersuchten , d. h. die eine Ebene eindeutig auf die andere 

 abbildeten. Die *Steiner f 8cke Projektion (1832) beniitzte 

 zwei Ebenen Ei und Ez, daneben zwei windschiefe Gerade gi 

 und gz. Ziebt man nun durch einen Punkt Pi oder Pz von 

 Ei oder Ez die Gerade Xi oder Xz, welche sowohl gi als gz 

 schneidet, und bestimmt den Schrrittpunkt Xz oder Xi mit 

 Ez oder Ei, so sind Pi und Xz, Pz und Xi entsprechende 

 Punkte. Auf diese Weise entspricht jeder Geraden der einen 

 Ebene ein Kegelschnitt in der andern. PliicJcer hatte (1847) 

 einen Punkt des einmanteligen Hyperboloids , ahnlich der 

 Festlegung eines Punktes in der Ebene, durch die Abschnitte 

 bestimmt, welche von ihm aus auf den zwei durch ihn 

 gelegten Erzeugenden bis zu zwei festen Erzeugenden bin 

 geniessen werden. Dies war ein Beispiel einer eindeutigen 

 Abbildung einer Flache zweiter Ordnung auf die Ebene. 



Die eindeutige Beziehung einer beliebigen Flache zweiter 

 Ordnung auf die Ebene untersuchte Chasles 1863, und diese 

 Arbeit bezeichnet den Anfang der eigentlichen T h e o r i e 

 der Flachenabbildung, welche sofort ihre weitere 

 Entwicklung fand, als Clebsch und Cremona unabhangig von 

 einander die Abbildung der Flachen dritter Ordnung lieferten. 

 Cremona's wichtige Resultate fanden Erganzungen durch 



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