210 IV. Geometrie. 



Cayley, Clebsch, Rosanes und No'ther, welchem man den 

 wichtigen Satz verdankt, dass jede Cremona'sche Transforma- 

 tion , die als solche bin und zuriick eindeutig ist , durch 

 Wiederholung einer Anzahl quadratischer Transformationen 

 erzeugt werden kann. - - Nur in der Ebene ist die Gesamt- 

 heit aller rationalen Umformungen oder Cremona' schen Trans- 

 formationen bekannt ; fur den Raum ist erst ein Anfang zur 

 Entwicklung dieser Theorie gemacht worden 57 ). 



Ein besonders wicbtiger Fall eindeutiger Korrespondenz 

 ist der einer konformen Abb il dung einer Flache auf 

 die Ebene, weil bier Aebnlichkeit in den kleinsten Teilen 

 zwischen Original und Bild stattfindet. Der einfachste Fall 

 derselben , die stereographiscbe Projektion , war schon Hip- 

 parch und Ptolemdus bekannt. Konform wird auch die 

 Abbildung nacb reciproken Radien , welche dadnrcb charak- 

 terisiert ist, dass stets zwei entsprechende Punkte Pi und Pz 

 auf einem Strahl durcb den festen Punkt liegen, und zwar 

 so , dass OPi . OPt = const, ist ; dadurch wird jede Kugel 

 im Raum im allgemeinen wieder in eine Kugel iibergefuhrt. 

 Diese Transformation, von Bellavitis 1836 und Stubbs 1843 

 studiert, ist besonders zur Bebandlung von Fragen der mathe- 

 matischen Physik benutzt worden ; W. Thomson nennt sie 

 daber das Prinzip der elektriscben Bilder. Die Untersu- 

 cbungen von Lambert und Lagrange tiber Abbildungen, vor 

 allem aber die von Gauss fiihren zur Krummungstheorie 

 himiber. 



Ein weiteres Teilgebiet der Geometrie, die D i f f er e n t i a 1- 

 geometrie (Theorie der Krummung der Flachen), betracbtet 

 im allgemeinen nicbt zunachst die Flache in ihrer Ge- 

 samtheit, sondern sie studiert die Eigenschaften derselben in 

 der Umgebung eines gewohnlichen Flachenpunktes und sucbt 



