212 IV. Geometric. 



fiihrung der krummlinigen Coordinate!! einer Flache und die 

 Aufstellung des Kriimmungsmasses als reciproker Wert des 

 Produkts der beiden Hauptkriimmungshalbmesser in dem be- 

 treffenden Punkt. Das Kriimmungsmass wird erst in gewohn- 

 lichen rechtwinkligen Coordinate!!, dann aber auch in krumm- 

 linigen Coordinaten der Flache aufgestellt. Von letzterem 

 Ausdruck wird gezeigt, dass er sich bei einer Verbiegung 

 der Flache ohne Dehnung und Faltung nicht andert (dass 

 er eine Biegungsinvariante ist). Hieran reiht sich die Be- 

 trachtung der geodatischen Linien , und die Berechnung der 

 totalen Kriimmung in einem Flachenpunkt und des Excesses 

 eines aus geodatischen Linien gebildeten Dreiecks (Curvatura 

 integra, Totalkriimmung). 



Die grossen Gesichtspunkte der Disquisitiones etc. von 

 1827 haben nach den verschiedensten Seiten hin frucht- 

 bringende Anregungen ausgesandt. Jacobi bestimmte die 

 geodatischen Linien des dreiaxigen Ellipsoids. Mit Hilfe 

 der elliptischen Coordinaten (der Parameter von drei durch 

 den zu bestimmenden Punkt gelegten Flachen eines ortho- 

 gonalen S}^stems von Flachen zweiter Ordnung) gelang ihm 

 die Integration der partiellen Differ entialgleichung , so dass 

 die Gleichung der geodatischen Linie als Relation zwischen 

 zwei Abel'schen Integralen auftrat. Die Eigenschaffcen der 

 geodatischen Linien des Ellipsoids lassen sich besonders leicht 

 aus den eleganten Formen ablesen, welche Liouville gegeben 

 hat. Durch Lame wurde die Theorie der krummlinigen 

 Coordinaten, nachdem er schon 1837 einen Spezialfall behan- 

 delt hatte, 1859 zu einer Theorie fur den Raum ausgebildet 

 in den Leons sur la theorie des coord onnees courvilignes. 



Der Ausdruck fur das Grauss'sche Kriimmungsmass als 

 Funktion krummliniger Coordinaten hat den Anstoss zum 

 Studium von sogenannten Diiferential-Invarianten oder Diffe- 

 rential-Par ametern gegeben. Es sind dies gewisse Ausdriicke 



