Fiinfte Periode. Nichteuklidische Geometric. 213 



der partiellen Ableitungen von einer oder mehreren Funk- 

 tionen, welche sich bei der Transformation der Variabeln 

 ahnlich verhalten wie die Invarianten der modernen Algebra. 

 Vorbereitend haben hier Sauce, Jacobi, C. Neumann, Halphen 

 eingegriffen ; eine allgemeine Theorie hat Beltrami*) ge- 

 schaffen. Diese Lehre, sowie die der Beruhrungstransforma- 

 tionen von Lie, bewegt sich im Grenzgebiet zwischen der 

 Geometrie und der Lehre von den Differentialgleichungen 69 ). 



An Probleme der mathematischen Theorie des Lichts schliessen 

 sich gewisse Untersuchungen iiber Strahl ensy ste me und fiber die 

 Eigenschaften unendlich d tinner Strahlenbundel an, wie 

 sie zunachst Dupin, Malus, Ch. Sturm, Bertrand, Transon, Hamilton 

 ausfiihrten. Die beriihinten Arbeiten Rummer's (1857 und 1866) ver- 

 vollstandigen Hamilton's Resultate iiber Strahlenbundel und betrach- 

 teten die Zahl der Singularitaten eines Strahlensystems und seiner 

 Brennflache. Eine interessante Anwendung zur Untersuchung des 

 Strahlenbiindels zwischen der Linse und der Netzhaut, gegriindet auf 

 die Betrachtung der unendlich diinnen Normalenbiindel von Ellip- 

 soiden, gab 0. Boklen**). 



Nichteuklidische Geometrie. So unbegrenzt 

 auch die Verehrung war, welche Jahrhundert um Jahrhundert 

 den Elementen EuMid's gezollt - - eine verwundbare Stelle 

 hatte geometrischer Scharfsinn doch entdeckt; und diese 

 Stelle 69 ) bildet das elfte Axiom (nach Harikel von Euklid 

 selbst zu den Postulaten gerechnet) , welches aussagt , dass 

 zwei Gerade sich auf der Seite schneiden , auf welcher die 

 Summe der inneren Gegenwinkel kleiner als zwei Rechte ist. 

 Gegen Ende des vorigen Jahrhunderts hatte Legendre ver- 

 sucht, dieses Axiom dadurch zu beseitigen, dass er es aus 

 den iibrigen zu beweisen trachtete; seine Schlussfolgerungen 

 erwiesen sich aber als nicht einwurfsfrei. Diese Anstrengung 



*) Mem. di Bologna; VIII. 

 **) Kronecker's Journal, Band 46. Fortschr. 1884. 



