214 IV. Geometric. 



Legendre's war ein Anzeichen von dem nunmehr beginnenden 

 Suchen nach einer in sich widerspruchsfreien Geometrie 

 nacheiner Hyper-Euklidischen oder Pangeometrie. Auch hier 

 war unzweifelhaft Gauss der erste, der erkannte, dass jenes 

 Axiom nicht bewiesen werden konne. Obwohl aus seinem 

 Briefwechsel mit Wolfgang Bolyai und Schumacher deutlich 

 zu ersehen ist, dass er auf diesem Gebiete schon friihzeitig 

 bestimmte Resultate erzielt hatte, konnte er sich zu keinen 

 Veroffentlichungen bieriiber entschliessen. Die eigentlichen 

 Bahnbrecber fiir die Nicbteuklidische Geometrie wurden 

 Lobatschewsky und die beiden Bolyai. Die Berichte uber die 

 Forschungen Lobatschewsky 's erscbienen zuerst im Kurier von 

 Kasan 1829 30, dann in den Abbandlungen der Universitat 

 Kasan 1835 1839, endlicb als GeometrischeUntersuchungen 

 uber die Tbeorie der Parallellinien 1840 in Berlin. Von 

 Wolfgang Bolyai) wurde 18321833 fiber denselben Gegen- 

 stand ein zweibandiges Werk berausgegeben : Tentamen 

 Juventutem studiosam in elementa Matbeseos purae etc. 

 Beide Scbriften waren fiir die mathematiscbe Welt lange 

 Zeit so gut wie nicbt vorbanden, bis im Jahr 1866 E. Baltzer 

 in seinen Elementen auf Bolyai hinwies. Fast gleichzeitig 

 erfolgte ein plotzlicher machtiger Vorstoss zur Erforscbung 

 der neuen Welt durcb Eiemann, Hdwiholtz und Beltrami. 

 Man erkannte 11 ), dass von den zwolf euklidiscben Axiomen 

 neun wesentlich arithmetischen Inhalts sind, also fur jede Art von 

 Geometrie Geltung besitzen; jeder Geometrie angehorig ist 

 aucb das zebnte Axiom iiber die Gleichheit aller rechten 

 Winkel. Das zwolfte Axiom (zwei Gerade oder allgemeiner 

 zwei geodatische Linien scbliessen keinen Raum ein) gilt nicbt 

 fur die Geometrie auf der Kugel, das elfte Axiom (zwei Gerade, 

 geodatische Linien, schneiden sich , wenn die Summe der 

 korrespondierenden Gegenwinkel kleiner als 2 E ist) gilt in 

 dieser Fassung nicbt allgemein fur die Geometrie auf 

 einer Pseudosphare, sondern nur fiir die in der Ebene. 



