Fiinfte Periode. Nichteuklidische Geometrie. 215 



Riemann sucht in der Schrift: Ueber die Hypothesen, 

 welche der Geometrie zu Grunde liegen*), in die Frage ein- 

 zudringen, indera er den Begriff einer niehrfach ausgedehnten 

 Grosse formt; und nach diesen Untersuchungen sind die 

 wesentlichen Kennzeichen einer w-fach ausgedehnten Mannig- 

 faltigkeit die folgenden : 



1. Jeder Punkt in derselben lasst sich durch n veran- 

 derliche Grossen (Coordinaten) bestimmen. 



2. Die Lange einer Linie ist unabhangig von Ort und 

 Richtung , so dass jede Linie durch jede andere messbar ist. 



3. Um die Massverhaltnisse in einer solchen Mannig- 

 faltigkeit zu untersuchen, ist fur jeden Punkt das von ihm 

 ausgehendeLinienelement darzustellen durch die entsprechenden 

 Differentialien der Coordinaten. Dies geschieht verraittelst 

 der Hypothese, dass das Langenelement der Linie gleich sei 

 der Quadratwurzel aus einer homogenen Funktion zweiten 

 Grads von den Differentialien der Coordinaten. 



Gleichzeitig veroffentlichte Helmholtz**) in den That- 

 sachen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, folgende 

 Postulate : 



1. vEin Punkt einer ^-fachen Mannigfaltigkeit ist durch 

 n Coordinaten bestimmt. 



2. Zwischen den 2n Coordinaten eines Punktepaares be- 

 steht eine von der Bewegung des letzteren unabhangige 

 Gleichung, welche fur alle kongruentenPunktepaaredieselbeist. 



3. Es wird vollkommen freie Beweglichkeit der festen 

 Korper vorausgesetzt. 



4. Wenn ein fester Korper von n Dimensionen sich urn 

 n 1 feste Punkte dreht, so fuhrt die Drehung ohne Umkehr 

 in die Anfangslage zuriick. 



*) G6ttinger Abhandlungen, XIII; 1868. Fortschritte 1868. 

 '*) Fortschritte 1868. 



