216 'IV. Geometrie. 



Die gewohnliche Geometrie hat hierin die genugenden 

 Grundlagen einer widerspruchsfreien Entwicklung, wenn sie 

 noch hinzufiigt, dass der Ratim drei Dimensionen hat und 

 . unondtaflr ausgedehnt 1st. 



Eines der iiberrasch ends ten Resultate neuerer geometrischer 

 Forschung war der Nachweis der Gultigkeit der Nichteuklid- 

 ischen Geometrie auf den Pseudospharen oder Flachen 

 von konstanter negativer Krummung 18a ). Auf einer Pseudo- 

 sphare gilt beispielsweise , dass eine geodatische Linie (der 

 Geraden in der Ebene, dem Grosskreis auf der Kugel ent- 

 sprechend) zwei von einander verschiedene nnendlich feme 

 Punkte hat, dass es durch einen Punkt P zu einer gegebenen 

 geodatischen Linie g zwei parallele geodatische Linien gibt, 

 von denen aber nur je ein in P beginnender Zweig die g 

 im Unendlichen schneidet, wahrend der andere Zweig der g 

 gar nicht begegnet; dass die Summe der Winkel eines geo- 

 datischen Dreiecks kleiner als zwei Rechte ist. Damit ist 

 eine Geometrie auf der Pseudosphare gegeben , welche mit 

 der spharischen Geometrie in der gewohnlichen oder euklidischen 

 Geometrie zusammengrenzt. Diese drei Geometrien haben 

 gemeinsam, dass sie fur Flachen von konstanter Krummung 

 gelten; je nachdem der konstante Wert der Krummung po- 

 sitiv, Null oder negativ ist, handelt es sich um die spharische, 

 Euklidische oder pseudospharische Geometrie. 



Eine neue Darstellung derselben Theorie verdankt man 

 F. Klein. Nachdem die projektive Geometrie gezeigt hatte, 

 dass bei der Projektion oder linearen Transformation alle 

 Lageneigenschaften und auch einige metrische Beziehungen 

 der Gebilde erhalten bleiben, war man bestrebt, fiir die me- 

 trischen Eigenschaften einen Ausdruck zu finden, der einer 

 linearen Transformation gegeniiber sich invariant verhalten 

 wiirde. Nach einer vorbereitenden Arbeit von Laguerre, 



