Fiinfte Periode. Geometric von n Dimensionen. 217 



der den Begriff des Winkels projektiv raachte, fand Cayley 

 1859 die allgemeine Losung dieser Frage , indem er jede 

 metrische Eigenschaft einer ebenen Figur als in einer pro- 

 jektiven Beziehung zwischen dieser und einem festen Kegel- 

 schnitt enthalten betrachtete. Klein gelang es , fiber die 

 Cayley'sche Theorie hinausgehend auf Grund der Betrachtung 

 der Massbestimmung im Raum zu zeigen, dass aus der pro- 

 jektiven Geometric mit spezieller Massbestimmung in der 

 Ebene eine elliptische, parabolische und hyperbolische Geometric 

 gefolgert werden konnen *), welche im Grunde dasselbe sind 

 wie die spharische, Euklidische und pseudospharische Geo- 

 metric. 



Das Bediirfnis nach moglichster Verallgemeinerung und 

 die stete Vervollkommnung des analytischen Apparats hat 

 zu Versuchen gefiihrt , eine Geometrie von n Dimen- 

 sionen aufzubauen ; jedoch sind vorlaufig nur einzelne 

 Beziehungen betrachtet worden. Von Lagrange 69 ) rtihrt die 

 Bemerkung her, dass man die Mechanik als eine Geometrie 

 von vier Dimensionen ansehen konne. Plucker suchte den 

 Begriff des beliebig ausgedehnten Raums in ein anschauliches 

 Gewand zu kleiden ; er wies darauf hin, dass fur den Punkt, 

 die Gerade oder die Kugel, die Flache zweiter Ordnung als 

 Raumelement, der gewahlte Raum beziiglich drei, vier oder 

 neun Dimensionen haben mtisse. Die erste Untersuchung 67 ), 

 welche eine andere Auffassung als die Plucker'sche gibt, und 

 das Element der beliebig ausgedehnten Mannigfaltigkeit als 

 ein Analogon zum Punkt des Raums betrachtet , gab 

 H. Grassmann in seinem Hauptwerk : Die Wissenschaft 

 der extensiven Grosse oder die lineale Ausdehnungslehre 

 (1844), das aber fast ganz unbeachtet blieb, ebenso wie seine 

 geometrische Analyse* (1847). Dann folgten aber Eiemann's 



Fortschritte 1871. 



