AVERTISSEMENT. ai 



les fraftions qu'on obtient en divifant Tunité par les nombres triangulaires succef- 

 fifs 7). Dans tous les autres cas il s'agit de fuites de la forme a + lar h- '}^ar^ -+- 

 4- 4^r3 + . . . (où ^ et r font des fractions données) , dont la fommation lui 

 réuflit également ^). 



Le Problème des partis. 



Le problème des partis remonte jufqu'au quinzième fiècle 9) et les favants 

 s'en font encore occupés de notre temps. 



Laiiïant de côté les extenfions qu'on lui a données plus tard, on peut le for- 

 muler comme fuit : 



Les joueurs A , B, C . . . jouent à qui aura gagné le premier n parties, leurs 

 chances à chaque partie étant égales. Ils veulent cefTer le jeu au moment où il 

 leur manque refpeélivement a^b^c. . . parties. Dans quel rapport doivent-ils fe 

 partager l'enjeu ^? 



Parlons d'abord du cas de deux joueurs, A et B, et défignons par (jp(^3f, b^e la 

 part de l'enjeu qui revient au joueur A et de môme par (jp(^, ^)6' celle qui ell due 

 à B. Alors la folution du problème peut être exprimée à volonté par l'une ou 

 l'autre des deux fuites : *°) 



, , ^ /N /iV + ^'-'T a-^b—\ Ca-hb—i^Ca+b — 2) 



(a-hb—i) {a + b—1^. ..(^-t-i) ] 



"^"•* I.2...(^-l) J' 



7) Voir les p. 144 — 150. 



^) Voir les pp. 106, 1 13 — 1 14 et 121. Comme nous l'avons indiqué aux p. 17—18, les derniers 



problèmes, traités par iluygens en 168S, conduisent également à des suites de cette forme 



sans que Huygens en achève la sommation. 

 ") Voir les pp. 327, 501—502, 520 — 521 du T. II des „Vorlesungen iiber Geschiclite der 



Mathematik" de M. Cantor (édition de 1900). 

 *°) On trouve une démonstration de l'identité de ces deux suites à la p. 98 de l'ouvrage de Tod - 



hunter, cité dans la note 1 1 de la p. 9, 



