AVERTISSEMENT. 



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t'ois un ducat fi quelque chofe a été mis. Et A jettera le premier quand il n'y a 

 encore rien à Fenjeu, et le jeu ne finira pas avant que quelque chofe ait été mis, 

 et Ton jouera jufqu'à ce que tout ait été enlevé. On demande quel ell le défavan- 

 tage de A ?" 



De ce problème Iluygcns a élaboré une folution fous ladate du 1 5 juillet 1 665*^}. 

 Il l'a auffi propofé à Hudde puifque celui-ci en a traité dans une pièce que nous 

 avons reproduite aux p. 463 — 469 du T. V. 



Au premier abord le problème n'a rien de bien particulier. Il femble môme 

 que fa folution puifie être obtenue par un raifonnement très fimple 7) que nous 

 expofons dans la note 2 de la p. 142 et qui évidemment a échappé à l'attention de 

 Huygens ^). Il y a cependant une réferve importante à faire dont nous parlerons 

 plus loin ^). 



Nous commençons par développer ici ce raifonnement d'une manière un peu 

 plus générale que nous ne le faifons à la place précitée. 



Suppofons, à cet effet, que les joueurs A et B conviennent de fe féparer à un 

 inllant où il y « ducats. à l'enjeu, et foit x„ la part qui revient au joueur dont c'ell 

 le tour de jeter. Nous divifons en deux périodes le jeu qui aurait eu lieu fi les 

 joueurs avaient continué. Nous étendons la première période jufqu'h l'inllant où 

 pour la première fois l'enjeu ell réduit h un feul ducat et la féconde depuis cet 

 inftant jusqu'à la fin du jeu. Evidemment l'efpérance mathématique correfpondant 

 aux ducats que le joueur peut gagner ou perdre pendant la première période eil 

 égale à fon efpérance totale dans le cas où il y a n — i ducats à l'enjeu, c'eft-à-dire 

 elle efl: égale à x,,-,. Quant à fon efpérance correfpondant à la féconde période, 

 elle efl: égale à Xj dans le cas où n cfl: impair, parce que dans ce cas le tour de 

 jeter fera au commencement de cette période au même joueur qui a jeté lorf- 



^') Voir la p. 394 du T. V. Sur la méthode suivie par Huygens on peut consulter le § 4 de 



l'Appendice V,p. 130 — 132 du présent Tome. 

 5) Voir la p. 132 du présent Tome. 

 ^) Voiries p. 132 — 150. 

 ") Nous devons ce raisonnement et les solutions fondées sur lui à notre collaborateur 



M. Fr. Schuh. 

 ^) Comparez les p. 142 — 143 du présent Tome où Huygens exprime le désir de connaître une 



solution plus simple que celle qu'il venait d'élaborer. 

 !^) Voir les p. 43 — 47 de cet Avertissement. 



