AVERTISSEMENT. ^i 



Quant aux équations (14) et (15), elles fe réduiTent à la feule équation: 

 x„ z= x„_, -f- -, applicable lorfque «eftpair ou impair. Et l'on trouve facilement 

 à l'aide de cette équation : 



(21) X„=\7'^). 



Nous indiquons ci-après une autre folution ne repofant pas fur le raifonncment 

 qui nous a fourni la valeur de x^. Elle nous fera connaître l'artifice fur lequel 

 la folution de Huygens eft fondée. 



On a d'abord comme conféquence immédiate des règles du jeu s) : 



(22) x„ = i + i(« - I - x„._.) -1 + ^ C« + I -x„+0 = 



I I 



— w — x„_t -- X„i , , 



OU bien: 



(23) X„^,=znn — x„_, — 2X„. 



À l'aide d'une application répétée de cette dernière relation on exprime facile- 

 ment x^^ x^, Xj, etc. en fonction de x^ et de x^. On trouve: 



(24) I x„=2r7 — 2 — (« — 2)x, — (;7 — I )x^ («impair), 



(25) ( X,, =z — 7j -\- 2 -j- (n — 2) a:, + (;? — i }x^ (« pair). 



4) Ce résultat est conforme à celui formulé par Huygens dans Tavnnt- dernier alinéa de la p. 14a. 

 En effet, quand « est pair Huygens suppose que les joueurs ont contribué pour une même 

 somme à l'enjeu (voir les définitions de la p. 133). L'avantage du joueur est alors égal à 



zéro, parce qu'on doit soustraire sa mise —n de son espérance future qui , elle aussi , est égale 

 à -«. Quand n est impair Huygens suppose que l'adversaire a mis un ducat de plus que le 



joueur en question. L'avantage de celui-ci est donc —n diminué de sa mise -(« - i),c'est-à- 



-dire qu'il est égal à un demi-ducat. 



5) En admettant toujours l'hypothèse formulée dans la note i de !a p. 40. 



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