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AVERTISSEMENT. 



^>c(n , = -q>c(n + I , y) + VC« - i , (pour i < n <v). 



De ces relations on déduit facilement: 



(jPc(w, y) =«()Pc(i , y) (po">* I £^:S 0- 

 Or, <pc(v, = "' donc (ï)cC 1 1 = ï ' ^^^ P^"* ^"i"^^ ' 



(30) «)Pc(«, v) = « (pour i<n<v). 



Soit maintenant fc l'efpérance de la troifième perfonne au début du jeu , rien 

 n'étant encore mis. On a: 



ec = ~ec + ^fc( I , j/) = ^c + - , 

 et, par conféquent: 



(31) fc=i. 



L'efpérance de la troifième perfonne efl: donc indépendante du nombre v. Elle 

 eft égale à un ducat au commencement du jeu et elle augmente ou diminue 

 enfuite régulièrement avec l'enjeu auquel elle refte toujours égale. 



Quelle eft la probabilité que l'enjeu après être monté à n ducats atteigne 4a 

 fomme de v ducats ? 



On obtient cette probabilité en divifant l'efpérance de la troifième perfonne par 



fl T 



la fomme qu'il peut obtenir. Elle eft donc égale à ~ quand i ^n^v^etk— quand 



rien n'a encore été mis. 



La probabilité que la troifième perfonne gagne l'enjeu s'approche donc indé- 

 finiment de zéro à mefure que v augmente. 



Pour v=in elle eft égale à -. Or, puisque la probabilité que l'enjeu diminue 



de « à 0, fans pafler par j/=:2«, eft évidemment égale à celle qu'il monte de 

 « à ï» = 2« (fans pafler par zéro), il ne refte rien pour la probabilité que l'enjeu 

 ofcille indéfiniment entre les limites o et in fans jamais atteindre ni l'une ni l'autre. 

 Quoique cet événement ne foit pas impoflible, fa probabilité eft donc infiniment 

 petite. Et fi cela eft vrai pour y z= 2«, il en eft de même a fortiori pour v^=<in—\^ 



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