AVERTISSEMENT. 47 



finimcnt le nombre v. Il cft vrai que la probabilité que le jeu continue jufqu'h 

 l'infini eft infiniment petite, mais refpcrance mathématique qui correfpondàcette 

 éventualité n'en relie pas moins une quantité finie. Elle eil égale à chaque inftant 

 à l'enjeu aftuel. 



Remarquons que des confidérations analogues le préfentent dans tous les jeux 

 oCi les coups peuvent fe répéter indéfiniment fans épui fer l'enjeu, de forte qu'il 

 nous fi^mble utile d'introduire un terme pour défigner la fomme qui dans un tel 

 jeu ell perdue pour les joueurs à l'inrtant même où ils conviennent de jouer. 

 Nous propofons de la nommer: la part du diable. 



N'oublions pns cependant que parfois dans les jeux de ce genre il eft: facile de 

 montrer dès l'abord que cette part eft infiniment petite, et par fuite négligeable. 



Prenons par exemple le problème de la p. 31. La probabilité qu'un enjeu de 

 n ducats monte fous les conditions de ce problème jufqu'a n -\-v ducats s'exprime 

 pour V pair par iz'hp'2% et pour v impair par ^'^"+0 /S'a ("-■). La „part du 

 diable" eft donc dans ce cas égale à la limite, pour v = 00 , du produit de ces 

 exprefiions par n-\-v ^ c'eft-à-dire qu'elle eft nulle. Afin de réfoudre ce problème, 

 il eft donc permis, comme nous l'avons fait ^), d'appliquer l'hypothèfe que la 

 fomme des efpérances des joueurs eft à chaque inftant égale à l'enjeu 3). 



3) Supposons , pour avoir un autre exemple , que les chances de chaque joueur de tirer un ducat 

 de Tenjeu ou d'y mettre un ducat soient entre elles comme /> est à q. On trouve alors: 



par suite la part du diable est nulle dans le cas/» > </ et 00 dans celui de/> <//, tandis que pour 

 p = q ow retrouve la formule (30). 



Ajoutons que la probabilité qu'un enjeu de « ducats augmente jusqu'à v ducats est 



-C-T 



V^^. On a donc ^r^^- pour la probabilité que cet enjeu monte à 2// ducats. Or , 



-CD' ■+(0" 



on en déduit en intervertissant les nombres/» et ^, celle que l'enjeu s'épuise sans avoir jamais 

 contenu in ducats. La somme de ces deux dernières probabilités étant égale à l'unité, il en 

 résulte que, cette fois encore, la probabilité que l'enjeu oscille entre cet 2;; ducats, sans 

 jamais atteindre ces limites, est infiniment petite. 



