154 VAN REKENINGH IN SPELEN VAN GELUCK. APPENDICE VI. l6j6. 



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(^+0 in Qdd—dc + ^0 ^^d hoc oo âf3 + ^3 ^^3 -f ^3 



Ergo fpes liiforis B ad fpem A ut ^3 ad c^. 



Hinc autem rurfus concluditur, fi vincat qui 6 punélis prseceflTerit fpem luforis 

 B ad A fore ut d^ ad c^ ')• 



^) De cette manière on peut donc aussi prouver rigoureusement Texactitude de la solution 

 (244140625 : 282429536481 , c'est-à-dire 5^^ ip'^) ajoutée à l'Exercice V (p. 91 du présent 

 Tome), où «= 12. 



') En effet, avec les ressources mathématiques dont on disposait à l'époque de Huygens,il 

 paraît avoir été difficile d'obtenir une démonstration rigoureuse valable pour le cas où « est 

 un nombre quelconque. Bernoulli n'y réussit pas, car on ne peut pas accepter comme telle le 

 raisonnement vague qu'il présente à ses lecteurs à la p. 70 de son „ Ars conjectandi" pour le cas 

 où ceux-ci n'accepteraient pas la conclusion par induction, qu'il fait précéder. De Monmort 

 (voir les p. 222 — 223 de l'ouvrage cité dans la note 11 de la p. 9 du présent Tome) se contente 

 de traiter le cas «=12, qu'il résoud à l'aide de 22 équations linéaires où entrent comme incon- 

 nues les probabilités diverses qui peuvent se présenter durant le jeu. Il est vrai que de Moivre 

 (voiries p. 227 — 228 de son Mémoire de 171 1 , ou les p. 44 — 46 de sa „Doctrine of chances", 

 cités dans la note 1 2 de la p. 9) arrive à une solution rigoureuse du problème général à l'aide 



* d'une méthode extrêmement ingénieuse, mais bien artificielle. Afin d'exposer cette méthode, 

 prenons le cas où A possède les trois jetons «, ^, y et B les trois autres <T,fî,f. On assigne alors 



C ■ C^ C^ C^ fS 



à ces jetons respectivement les valeurs r, 2^' 5 J2^5 J3^5 J4^S ^v, où nous supposons <?'><:, 



et l'on convient qu'à chaque partie en particulier A engagera parmi tous les jetons qu'il 



possède celui dont la valeur est la plus petite et B de tous ses jetons celui qui a la plus grande 



valeur. Ces valeurs alors seront toujours dans le rapport de â^àc, mais comme les chances des 



joueurs A et B sont dans le rapport réciproque de c à </, chaque partie en particulier sera une 



partie équitable, c'est-à-dire où les espérances des joueurs sont égales. II en doit donc être de 



même pour le jeu entier, qui finit lorsque l'un des joueurs obtient tous les jetons. Or, puisque 



les sommes que les joueurs peuvent gagner sont dans le rapport de «^3 à f3^ \\ faut que leurs 



chances soient dans le rapport réciproque de c3 à (1=. 



Enfin, Struyck (p. 108— 1 10 de l'ouvrage cité dans la note 14 de la p. 9) donne 



une solution plus directe, que voici: Supposons que les <xn jetons soient des pièces de 



monnaie d'une valeur égale à l'unité, et soit Cp l'espérance mathématique du joueur A 



c d 



lorsqu il possède p jetons. On a alors ep =— j— ^^^ , _|__^^^^,_,. c'est-à-dire cpj^, = 



= ^p +7C^/' —ep-iyOw en déduit successivement ^^ = ^1 +-^1; ^3 = ^1 + T^i+ 72^1; 



r(iI.__Ke- 



I — 



c 



d 



^" — j-~ ^i '■> ^ï« = 2« = ^^^ — e^. On trouve donc e^ = ZJ\^'^^ '•> ^" ^^ 



I 1 



c 



