AVERTISSEMENT. 1^7 



que Hiiygens reçut le célèbre problème qui a occupé tant de mathématiciens >) , 

 favoir celui de trouver des nombres entiers fatiffaifant h l'équation au^ -f i = v% 

 où a eil un nombre entier donné; équation à laquelle on a afTocié bien à tort le 

 nom de Pell •°). 



Voici les réfultats obtenus par Huygens dans Tes recherches fur cette équation: 

 1°. il montra que chaque folution de Tune des équations ^«'— i :=y'; au* — 

 — 2 = v*; ^«*-|- 2 = v* en amène une autre de l'équation en queftion "); 

 2° il remarqua qu'il en eft de môme pour chaque folution d'une équation <?«* ± 

 ± ^=: v% pourvu que k fatiffaiTe à une certaine condition '='); 3°. il indiqua 

 une folution dans les cas particuliers où a-=.p^ ± 1 , ou />* ± 1 '') ; 4°. il montra 

 qu'ayant trouvé une folution quelconque de l'équation de Pell on en peut déduire 

 une infinité d'autres "^). 



On voit donc, qu'excepté dans les cas particuliers prémentionnés, Huygens 

 n'avait d'autre moyen, pour trouver une folution d'une équation de Pell donnée, 

 que d'eiïayer diverfes valeurs de« l'une après l'autre afin d'examiner fi elles fatis- 

 faifaient à l'équation de Pell elle-même ou à l'une des équations auxiliaires. Il efi 

 vrai que, dans cette befogne, les caraélères qu'il avait trouvés ' s) pour recon- 

 naître très vite dans un grand nombre de cas qu'un nombre donné eft un non- 

 -carré , lui pouvaient être utiles; mais cela n'empêchait pas que fa méthode ne fût 

 très laborieufe et ne pût pas fervir dans les cas fréquents "^) où la plus petite 



quelque nombre a Tavanture, comme dans les reigles qu'on a donné pour les nombres par- 

 faits et amicables." 



Ou bien étaient-ce après tout les deux problèmes du premier défi de Fermât aux mathéma- 

 ticiens du 3 janvier 1657? Voir les p. 1 2—13 de notre T. II, ou les p. 332—333 du T. II des 

 „Œuvres de Fermât", citées dans la note i de la p. 3 du présent Tome. 



5>) Comparez la note 5 de la p. 2 1 3. 



'°) Voir p. e. la p. 777 de l'ouvrage de Cantor cité dans la note 9 de la p. 21. 



'') Voir les pp. 2 1 4 et 2 1 5. 



'^) On doit prendre pour cette condition que k soit un facteur de 2//v (et non de 2«= comme 

 Huygens l'indique). En effet, soient //, et r, des nombres entiers qui satisfont à l'équation 



au"" ±k = v% il sera satisfait à l'équation air -f 1 = v' par les valeurs u = — |r i '" = 



= ^ ip I. Comparez la note i de la p. 214. 

 k 



'3) Voir la p. 215. 



'•*) Voir la p. 215— 216. 



^5) Comparez la note 2. 



"î) Comparez la table de Frenicle aux p. 30—32 du T. II. 



