214 TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1657. 



Sit datus non quadratus a. fit — ^^ + i oo xx + ax + i , qu. ab x + i . 



22:2 



X 00 



ayy — zz 



hune oportet efie numerum integrum qiiod fiet i\ ayy — zz co i, hoc efl:,fi 

 ayy — i oo 22. Idem etiam continget fi ayy — zz fuerit oo 2, hoc efl: (?3;3r — 2 00 22. 

 Experiendo igiciir inveniendum eft quadratum yy quod in a duéliim demptâ i vel 

 2 relinquat quadratum. 



Quod fi fuperius quadratum formatum fuifletabx— i inventa fuifiet œquatio 



1ZZ 

 X 00 



zz — ayy 



Ubi fi zz — ayy 00 i , hoc efl: ayy + i 00 22 rurfus qu3efl:io refoluta efi:. Sed 

 hic ad ipfum primum quaefitum devenimus ut fit nempe ayy + i aequale quadrato. 

 Si vero zz — ayy 00 2, rurfus integrum numerum x inveniemus. Hoc efl fi 

 ayy-\- 2 00 zz. Quod fi 222 per 22 — ayy vel per ayy — 22 tantummodo dividi 

 poffit erit rurfus x numerus integer ^). 



Aliter. 



Si axx9s'^^ 2X eiïet quadratus is propofitum efficeret, nam duélus ma., fit 

 aaxx 9. 2.ax qui additâ i facit aaxx ^ lax + i qui efl: quadr. Sit ergo 



axx y^'ix :j::i 



donna Heu à des recherches nombreuses dont on trouve la liste dans la note 30 de la p. 599 du 

 T. I, 2 de r„Encyklopâdie der raatheniatischen Wissenschaften", où l'on rencontre entre 

 autres les noms d'Euler, de Lagrangeet de Gauss. 

 ') Remarquons toutefois que pour avoir une solution en nombres entiers de l'équation au' -\- 

 -|- I = v' il ne suffit pas que v = x + i soit un nombre entier , il en doit être de même de 



X'i S'VZ * 



« = -^ = ± a_ a ' Considérons, par exemple, l'équation i8«^ -f" " — ''^* ^^ supposons 



3/ = 1 , 2 = 3. On trouve alors x = 2 , v = 3 , mais « = — .En effet, pour faire réussir l'arti- 

 fice employé ici par Huygens, il faut et il suffit que af — 2^ , ou 2^ — af , soit un facteur de 

 23^2. En ce cas u est un nombre entier , et , par conséquent , v aussi. 

 ^") Le signe 5i représente chez Huygens notre 4-. 



