TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 A 1659. 1657. ^^3 



plurefve cifras adjeélas habent. Très ergo poftremi charafteres omnis quadrati 

 numeri fi per 8 dividantiir debent relinquere i , 4 aut o "). Ex tabella autem ad 

 odonarium comparata inveni 3), quadratos numéros quorum extrema eft 9 fie 

 finire debere nempe j^m6^\m fignif. numcrum imparem. 

 m 29 I 



\p 49 j ^ numerum parem. 



i/>89) 



quorum autem extremo ell i fie finire debere 1 w 2 1 



\m 6\ 



\P 41 

 \P 81 



^) Comparez l'Appendice II à cette Pièce, p. 229 du présent Tome. 



3) Les résultats qui suivent sont incomplets. Huygens aurait dû ajouter aux deux colonnes 

 suivantes respectivement/) 09 et/) 01 , puisque p. e. 53* = 2809 et 51* = 2601. Voici com- 

 ment on peut arriver aux résultats complets : Remarquons d'abord que le résidu de la division 

 par 4 ou par 8 de tout nombre carré impair est égal à l'unité. Il en doit donc être de même 

 pour le nombre formé dans le cas de 4 par les derniers deux et dans celui de 8 par les derniers 

 trois chiffres. On en peut conclure que le nombre formé par les derniers trois chiffres doit 

 prendre l'une ou l'autre çles formes: \oob-\-%a -\- i ou 100^ -|" ^'^ ~h5 ^^ 'î"^ '^^"s le 

 premier cas (celui àt ?,a -\- i = o\ , 09 , 41 , 49, 8 1 ou 89) le chiffre des centaines doit être 

 pair et dans le second (celui de 8/7 -f~ 5 = 21, 29, 61, 69) impair, puisqu'autrement le 

 résidu de la division par 8 ne serait pas égal à i mais à 5. 



On peut admettre que des raisonnements analogues à ceux qui précèdent 

 ont été suggérés à Huygens par la considération attentive du tableau pour les 

 résidus de la division par 8, qu'on trouve ici à côté. Alors l'omission de la 

 première ligne, qui manque dans les tableaux des pp. 219 et 221 , explique- 

 rait le résultat incomplet de Huygens. En effet, prenant i pour le dernier 

 chiffre, le tableau apprend qu'on peut combiner ce chiffre avec o, 2, 4, 6 et 8 

 comme avant-dernier chiffre, mais que dans le premier, le troisième et le 

 cinquième de ces cas le chiffre des centaines doit être pair et dans les autres 

 impair. Or, c'est précisément le premier cas, dépendant de la première ligne 

 du tableau , qui à été omis par Huygens. 



Dans quel but Huygens cherchait-il tant d'artifices pour reconnaître si 

 un nombre donné peut être un carré? 11 nous semble que ce but n'est 

 pas difficile à deviner, vu les recherches qui précèdent. Il s'agissait proba- 

 blement de trouver par tâtonnements des solutions de l'équation de Pell 

 au"^ -|~ ï = ^* 5 ou bien des équations , comme p. e. ay'^ — \ =z'^ ,o\x ay^ ±. 

 + 2=2', de la résolution desquelles Huygens avait fait dépendre celle de 

 l'équation de Pell; voir la p. 214 du présent Tome. 



Ajoutons que, nonobstant tous ces artifices, la méthode de Huygens 

 pour résoudre l'équation de Pell reste extrêmement laborieuse, comme il en convient lui- 

 même dans sa lettre à van Schooten du 21 avril 1657 (p. 27 du T. II). Fermât et Frenicle 



