TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 X 1659. 1658. Q27 



§ 3 0. 



Problema Fermatij. 



Datiis eft niimerus aliquis non quadratus ut 5. oportet invenire qiiadratum qui 

 in 5 duélus, addita i faciat quadr. 



Methodus Brounkeri '»). $aa + i zo ^aa -\- \ab -h bb 



aa -\- i co 4ab H- bb Q 

 Sb>a>ib^^ 

 a OD ^b -h c 



i6bb + Hbc 4- ce H- I 00 i6bb -f- ^cb + bb 

 4bc -h ce -h i co bb 

 Sc>b>4c^) 

 b zo ^c -\- d 



•^) Dans ce paragraphe lluygens examine une méthode exposée à la p. 71 du „Commercium" 

 (p. 797 du „ Volumen alterum"). Afin de s'assurer si elle est exacte et expéditive, il l'applique 

 à un autre exemple que celui choisi par Wallis, c'est-à-dire à l'équation 5«^ -|- i =v'. 



*) La méthode qui suit doit en effet être attribuée à Brouncker. Il est vrai que Huygens dans sa 

 lettre à Wallis du 6 septembre i658(p.2ii du T. II) l'appelle :„tuane an Illustri. Brounkeri, 

 neque enim satis certo id significas, methodus pagina 71 exposita"; mais Wallis lui répond 

 (p. 297 du T. II) „ . . . Methodum illam quce pagina 7 1 . occurrit , qujc est Illustris Brounckeri 

 magis quam mea (quod ibidem me satis innuisse putaveram) licet eam mihi deinceps reli- 

 queret exponendam". 



5) En posant ^=1,^ = 4, on obtient une première solution de l'équation 5«'-|- i =i'*; 

 mais lluygens suppose Z» > i et par suite aa"^ \ab^ ce qui fournit la limite inférieure de 

 l'inégalité qui suit. 



*^) Il eût été plus conforme à la méthode de Brouncker d'écrire '.$b^a'>\b. Voici , en effet, 

 l'artifice par lequel Brouncker obtient les limites. Pour ^ = 4^ on a ^^ -f- ^ = ^^^* "i" ' "^ 

 <i \ab ■\-b'^ =^\6b'^ Ar^^'i ^owx a^='>^b on a au contraire a^ -\-\=i'^b'^-\- \'> i^ab -\- 

 -{- b^ = 2,ib^. On en peut conclure que s'il y a une valeur entière et positive de a qui satis- 

 fait à l'équation a- -\- i = ^ab -\- b^ , elle doit être située entre 4/- et 5^, l'autre racine de 

 cette équation étant négative. 



^) La limite inférieure se trouve en remarquant que nécessairement /^bc < bb. 



