TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 X 1659. 1657. 235 



Sit LF parab. axis LM. tangens FK. Sit hijperb. BD «qualium laterum refti 

 et tranfv.i et fit AB dimidium lat. tranfv.i fient autem KF ad FM , five ut HF ad 

 HG ita fit ED ad AB. vel quod eodem redit 3) , fient KM ad MF ita fit AE ad 

 AB, Et compleatiir □ EC. Erit nifi fallor, circiimferentia parabole LF ad 

 reaam FK, ut fpatium BDEA ad □ ACDE 4). Potefl: fumi quaevis hijperbola, 

 dummodo fiât, de five CA ad AB ut KF ad FM s). 



*) Cette première Partie, qui occupe la p. 39 du livret, expose les découvertes faites le 

 27 octobre 1657. Elle ne donne aucune indication directe sur la manière dont ces décou- 

 vertes ont été obtenues^ mais consultez à ce propos les notes 4 de cette page et 2 de la suivante. 



3) On a , en effet, KF' : FM' = ED' : AB' ; donc (KF'— FM') : FM' = (ED2— AB') : AB' ; 

 c'est-à-dire, en appliquant une propriété connue de l'hyperbole équilatère, MK' : FM' = 

 = AE' : AB' , ou bien MK : FM = AE : AB. 



^') La figure que nous avons reproduite en tête de cette „Première Partie", contient plusieurs 

 lignes énigmatiques qui, peut-être, se rapportent en partie à des tentatives qui n'ont pas 

 abouti au but désiré. Toutefois il ne nous semble pas impossible de reconstruire à peu près 

 à l'aide de la „Deuxième Partie" qui constitue une démonstration en règle du résultat 

 obtenu, et de quelques autres indications, les raisonnements qui ont guidé Huygens. Dans 

 leur exposition nous nous servirons librement des notations modernes. 



Son point de départ, indiqué par la suite de nombres qu'on trouve à côté de la figure, 

 était sans doute la remarque que dans la parabole x^=py, où les :v sont comptés dans la 

 direction de la tangente au sommet L, les accroissements successifs des 3? pour des valeurs 

 a,^a, 5a, 7^, etc. de x sont proportionnels aux nombres 1,2,3,4, ^tc On peut appliquer 

 cette remarque à la fig. 3 de la p. 239 qui suit. Dans cette figure les ordonnées à gauche du 

 sommet B correspondent aux nombres i, 4, 9, 16, 25, 36, 49 de la suite prémentionnée 

 et les différences NF — GH = ND, OE — NF = OC — DN , etc. entre la troisième et 

 la première ordonnée, la cinquième et la troisième, etc. aux nombres 8, 16, 24, etc. Or, 

 puisque ces derniers nombres sont proportionnels aux abscisses des points de contact des tan- 

 gentes successives DG, CD, etc, menées à la parabole AEKFB, on est évidemment conduit à 

 une relation représentée parla formule As = \/i -\-k'^x'^. Ax, d'où l'on peut conclure que 

 les éléments successifs de la circonférence de la parabole sont proportionnels aux ordonnées 

 d'une hyperbole}»' = ^'(i + k^x"). C'est la conclusion à laquelle Huygens arrive au Théo- 

 rème V , p. 243. 



Dès lors il est évident que la rectification de la parabole se réduit à la quadrature de l'hy- 

 perbole; mais si dans une telle hyperbole la première ordonnée AB [Fig. i] prend la 

 grandeur a, il faut que la dernière DE ou de soit égale ^a\/i -+- F^î , où V^ i + ^^-^î 

 représente le rapport de As à Ax pour le point F de la parabole. On a donc , comme le texte 

 l'indique, de (ou DE , ou CA) : AB = FK : FM. Or, de même que les éléments de la para- 

 bole, qui correspondent à des accroissements égaux Ax, sont proportionnels aux ordonnées 

 hyperboliques a\/'\ -\-k'^x'^ , ceux de la tangente FK correspondant aux mêmes accroisse- 

 ments A^ sont dans le même rapport à la dernière ordonnée de (ou DE), d'où il résulte 

 que le rapport de la longueur de la parabole à celle de la tangente FK doit être le même que 

 celui de l'aire hyperbolique BdeA (ou BDEA) au rectangle Ad (ou AD). 



5) En effet , dans la démonstration qui va suivre, et dans les énoncés donnés à diverses occasions 



