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TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1655 À 1659. 1659. 



[Fig.i.] 



[Fig. 2.] 



-b-\-~a [ad] b [ut] ^ [ad] -^- 

 ib-\-a [ad] 3^ [ut] ^ [ad] -L- 



fi fiât ut du pi a fubtenfa alicujus arc us un a eu m ejufdem 

 fi nu ad tripla m fufpenfam, ita fubtenfa ad aliam, il la m in or 

 erit ipfo arcu. Théo rem a veri f fimum ^). 



*) Dans les premières trois lignes de ce paragraphe Huygens se borne encore au cas particulier 

 où EF est le côté d'un hexagone et qu'on a par suite CA = EF = Z», et BA égal à la ligne a de 

 la Fig. 2 Ensuite il généralise tout-à-coup le résultat qu'il a trouvé pour l'approprier au cas 

 où b est la corde et a le sinus d'un arc quelconque et il le précise en même temps en indiquant 

 que lavaleurapproximativequ'onobtient pour l'arc ECF est plus petite que la valeur exacte. 

 Aiin d'arriver à cette conclusion Huygens a dû se rendre compte de ce que le centre de 

 gravité de l'arc de cercle se trouve toujours au-dessous de celui de l'arc cycloïdal correspon- 

 dant. À cet effet il peut p. e. avoir considéré l'arc cycloidal EBF de la Fig. 36 de la p. 373, 

 afin de le comparer à l'arc de cercle GBL. En ce cas le rapport des longueurs des éléments 

 de l'arc de cercle aux longueurs des éléments correspondants de l'arc cycloïdal, qui se trou- 



' vent à la même distance de la corde, est de i à 2cos —9, où qp est l'angle au centre de l'arc 



de cercle compté depuis le sommet B jusqu'à l'élément circulaire en question. Par suite, ce 

 rapport (comme on peut aussi le démontrer facilement par des considérations purement géo- 

 métriques) augmente de plus en plus à mesure que cette distance diminue; ce qui doit 

 amener évidemment un abaissement du centre de gravité de l'arc de cercle par rapporta 

 celui de l'arc cycloïdal. 



En effet, si l'on choisit le poids spécifique de la cycloïde de manière que les éléments des 



deux courbes qui sont à la distance de — BM de la corde ont le même poids, tous les éléments 



du cercle qui se trouvent à plus grande distanceseront plus légers et les autres plus pesants 

 que les éléments correspondants de la cycloïde. 



Enfin, la situation réciproque des deux centres de gravité une fois admise, on obtient facile- 



ment le théorème énoncé. On a alors [Fig. i]AC ; 



AC— ^(AC-AB) ^AC + AB 



ECF> 



CB> 

 3AF 



EF 



arc.ECF 



.AC: c'est-à-dire arc. 



2AF-I-AB 



b= - 



Zhb 



ib-\-a' 



puisqu'évi- 



demment AF : AB = b:a. 

 ') Le théorème est équivalent à la „Prop. XXVIIl" du „Cyclometricus" de Snellius (voir 

 l'ouvrage cité dans la note 6 de la p. 94 du T. XII) et, par suite, au „Theorema XIII, Prop. 



