TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 X 1666. 1662. 



yy-^yP+PP [f'ig- 2] [ad] ^^^ [ut] ^^<^) [ad] 



ddy* 



505 



dd—yy 



ddyy — iddpy -f ^^/)/) — 3^-* + ipy^ — p/)^^^ 30 m 7) 



+ ^ddpp -\- ipy^ — ^ppyy 



pery- p 

 o oo 2pyy - ^ddp -\- 2ddy 

 ddy 



pzo 



idd—yy 







^) s représente donc la longueur d'un segment de la normale depuis le point sur la courbe jusqu'à 

 l'intersection avec Taxe des y. Or , si l'on fixe ce point d'intersection , dont la distance à l'ori- 

 gine est désignée par v et qu'on déplace l'autre extrémité du segment le long de la courbe, il 

 faut que la longueur du segment soit stationnaire (c'est-à-dire en général maximum ou mini- 

 mum) lorsque le segment reprend sa position primitive. Ils'agit donc dés ici de trouver la 

 valeur de y qui rend maximum ou mipimum l'expression pour ss. A cet effet I luygens emploie 

 la méthode de Hudde, exposée dans son „Epistola secvnda de Maximis et Minimis" (voir la 

 note 5 de la p. 360 du T. II), pour déterminer le maximum ou minimum d'une fraction 



rationnelle ^~<=z-;~^ — par la résolution de l'équation SS(j)-q')hp Byx/'+y=o; équation 



Ifi^XJ ^DqX,f 



qu'on déduit facilement de la relation (en notation moderne) x(]p'(Af)(//(j:) — j:(][^(x)i//'(a:)=o. 



') Cette première ligne contient les termes pour lesquels ^ = 0, celle qui suit ceux qui corre- 

 spondent à <7 = 2 ; voir la note précédente. 



**) Au lieu de dd Iluygens aurait pu choisir (voir la note 7 qui suit) le carié de toute autre ligne 

 de longueur constante ; il ne choisit d que parce qu'elle représente la seule ligne de cette nature 

 qui entre dans l'équation de la courbe de Gutschoven. 



X 



7) s est donc proportionnel au quotient -^^. Or, il est évident que lorsqu'on déplace, le long 



de la courbe, le point où elle est touchée par la tangente, sans changer la longueur/), ce 

 quotient sera stationnaire et dans le cas présent un minimum. Par suite, on peut appliquer 

 la méthode de Hudde à l'expression pour ss. Divisant en môme temps par «/«^y*, Huygens 

 obtient de cette manière l'équation qui suit, dont il écarte ensuite le facteur y — p. 

 ') C'est probablement à propos des deux méthodes de ce paragraphe que Huygens écrivit à de 

 Sluse dans la lettre du 25 septembre 1662, mentionnée dans la note 4 de la p. 502 :„Nam 

 illiusquidem curvseGutschovianîe quam proponis tangentem nullo negotio investigavi varijs 

 modis calculoque brevissimo , qui vix duos hujusmodi versiculos occupet". 



Ajoutons que, auparavant, Iluygens avait essayé, p. 1 13 du Manuscrit B, une méthode 

 analogue à la deuxième avec cette différence que pour la quantité qui doit être minimum 

 il choisit la longueur du segment 2 situé sur l'axe des x entre l'origine des coordonnées et le 



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