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TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1661 À 1666. 1662. 



zz — izx-^- XX [ad] ^ , ^^ — [ut] bb [ad] 



b -\-6x 



b^xx — ibbx'^ ') 



- ibzx -\- bxx + 6zzx— 1 22:3ic;i; + 6^' 



1 O 1 O — 1 *) 



2 1 2 I o') 



2^fe2 — ibbzx + 6bzzx — 6bx^ 

 — 6bzzx-\-^bzxx — ibx'^ — ^\zzxx-\- ^^zx^ 

 bbz + /^bxx — 1 1ZXX o '*) 

 /^bxx 



iixx 



bb 



00 ZOD 



bxx 



2XX 



bb 



^) Fraction qu'il s'agit de rendre maximum à l'aide de l'algorithme de Hudde. 



^) Cette ligne donne les coefficients/» — q (voir la note 4 de la p. 505) par lesquels on doit mul- 

 tiplier tous les termes qui correspondent au premier terme du numérateur. D'ailleurs, puis- 

 que Huygens se propose de diviser tous les termes par bbxx on doit multiplier ceux du 

 dénominateur par (J> — q)b et non par (j)—q')b^xx comme l'algorithme de Hudde l'exige. 



3) On doit pour la même raison multiplier les termes correspondant à — aZ'Z-x^par — 2(p — q)x\ 

 c'est pourquoi Huygens change les signes des termes du dénominateur en même temps qu'il 

 les multiplie par 2(/) — q^x. 



'*) Cette équation est obtenue après division de l'expression qui précède par 2(2 — jc). 



5) Ce paragraphe et le suivant nous montrent qu'avant de trouver, dans le cas d'une courbe 

 algébrique quelconque, la règle exposée dans la lettre à de Witt du 25 février 1663 (voir les 

 p. 312-317 du T. IV), Huygens s'est occupé d'autres méthodes très curieuses pour déter- 

 miner les tangentes d'une telle courbe. Afin de faire connaître la portée de ces méthodes, 

 nous croyons utile de les appliquer au cas général d'une courbe algébrique /J,^(:v, 31) = 



= Sa,A|3 x^j'^ = o du degré ju. Commençons donc par la méthode utilisée dans le présent 

 paragraphe et remarquons d'abord que la forme du triangle ECD (Fig. 6) est définie par les 

 rapports entre ses côtés, en posant v:c = 3f :« = </: i>, où l'une des trois grandeurs c,»,^ peut 

 être choisie égale à une constante arbitraire, p. e. à la constante n de l'équation de la courbe. 



On a alors a: = 2 -j ;y = — ; où z- 



AE. 



Or, la substitution de ces expressions pour x tty dans l'équation de la courbe , donne : 



Si maintenant nous supposons un instant que les valeurs des, tr, « et ^soient données et 

 invariables, et que v soit l'inconnue de l'équation (i), les solutions de cette équation 

 correspondront aux points d'intersection de la droite. EC avec la courbe /J^(x, y) = ; mais 

 puisqu'il faut qu'au point C correspondent deux racines égales de l'équation en v, on aura: 



CO 



2<î^Bj2ri 



Cela explique le premier algorithme, représenté dans le texte par les nombres o, 1,2,3, 

 3,1,2 ,qui amènent l'équation o oo 2>bzzvcc — nnzccv -|- etc. 



Pour expliquer le deuxième algorithme, représenté par les nombres 3,2,1,0,0,2,1, 



