Arithmetische Proportion. 167 



Vergleichen wir nun die Größenverhältnisse der vier Körper mit- 

 einander, so läßt sich, soweit ich zu urteilen vermag, weder aus 

 der Zahl der Flächen 4 : 8 : 20 : 6, noch aus der Zahl der Ecken 

 4:6:12:8 eine Proportion herstellen. Dagegen bietet die verschiedene 

 Bildung der Ecken, wie sich dieselbe aus dem Zusammentreten mehrerer 

 Flächen gestaltet, wenigstens die Anfänge einer Proportion. Im Tetra- 

 eder bilden nämlich je drei Flächen eine Ecke, im Oktaeder je vier 

 Flächen, im Ikosaeder je fünf Flächen. Damit scheinen ja allerdings 

 die Verhältnisse des Hexaeder nicht übereinzustimmen, indem hier je 

 drei Flächen eine Ecke bilden. Liegt es nun schon an und für sich 

 nahe, bei der Vergleichung einer Vierecksfläche mit einer Dreiecks- 

 fläche die erstere, weil von selbst in zwei Dreiecke zerfallend, doppelt 

 zu rechnen, so liegt diese Verdoppelung noch näher, wenn wir uns 

 der Art erinnern, wie Plato die Quadratfläche entstanden sich dachte. 

 Wird hiernach jeder Winkel so halbiert, daß jede Hälfte je einem 

 der vier Dreiecke angehört, aus denen sich die eine Quadratfläche 

 zusammensetzt, so sind es tatsächlich zwei Flächen, die an der Ge- 

 staltung der Ecke von einer Seite her tätig sind. Es sind also in 

 Wirklichkeit nicht drei, sondern sechs Flächen, die je eine Ecke 

 bilden. Danach gestaltet sich das Verhältnis der Ecken so, daß im 

 Tetraeder je drei, im Oktaeder je vier, im Ikosaeder je fünf, im Hexa- 

 eder je sechs Flächen an der Gestaltung einer Ecke tätig sind. 1 ) 



1) Mit Recht sagt Poske, Zeitschr. f. Math. u. Phys. 28 hist. lit. Abt. 137 f.: 

 „Die Epoche vor Aristoteles war das Zeitalter der Analogie gewesen; nicht nur 

 die Philosophie jener Zeit trug diesen Charakter, auch die Mathematik zeigte 

 dieselbe Neigung in ihrer Vorliebe für den Gebrauch der Proportionen, und die 

 Pythagoreisch -Platonische Physik bewegte sich fast ausschließlich in Analogien, 

 oft der wunderlichsten und ungeheuerlichsten Art. Statt anderer Beispiele sei 

 nur an die Platonischen Proportionen erinnert, wonach sich Feuer zu Luft wie 

 Luft zu Wasser und Luft zu Wasser wie Wasser zu Erde verhielten." Poske 

 bezeichnet dieselben als halb poetische Schöpfungen einer spielenden Phantasie. 

 Bestimmte Lösungen suchen Rothlauf, Die Mathematik zu Piatos Zeit, Diss. v. 

 Jena 1878; Hultsch, Jahrbb. f. Philol. 107, 493 ff. u. a.: dieselben gehen aber auf 

 die von Plato selbst gegebenen Verhältniszahlen der zu vergleichenden vier Körper 

 nicht näher ein. Über Piatos mathematische Kenntnisse vgl. namentlich Blaß, 

 Diss. v. Bonn 1861, der dieselben mit Recht als nicht zu bedeutend hinstellt. 

 Am Sachgemäßesten über die nach Plato im allgemeinen richtig angenommene Lage 

 zweier Proportionalzahlen zwischen zwei 6teqscc Zeller 2, l 4 . 789 ff. ; speziell 796. 

 Vgl. Raeder a. a. 0. 383 „wie nämlich zwei Quadratzahlen immer eine ganze Zahl 

 als mittlere Proportionalzahl zwischen sich haben (— - = ^— ) , so muß es zwischen 

 Kubikzahlen immer zwei ganze Zahlen geben, die untereinander und mit den 

 Kubikzahlen gleiche Verhältnisse haben (~ = ^ = ^-). Darum muß es vier. 



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