Formeln XXXII bis XXXIV. , 159 



stelle ofEen ist, also nur die eine Hälfte der in Fig. 42 dargestellten Wasser- 

 masse schwingt (vgl. auch Fig. 43). 



Die sogenannte einknotige oder uninodale Schwingungsart ist die 

 einfachste in einem gegebenen Gefäß, und sie hat die längste Periode. 

 Für ein Gefäß von rechtwinkligem Querschnitt gehorcht diese nach 

 Rud. Merian^) dem Gesetze : 



dzl e ^ -\- e 4tzI ^- i:p _„_ 



t* = . ■ = coth — r- ... XXXII 



g üfL -HIL g l 



e ^ — e 

 worin t die ganze Periode, l den Durchmesser des Grefäßes, p die Tiefe 

 der Flüssigkeit, und g und tt die oben S. 6 gegebenen Werte bedeuten. 

 Indem man die Exponentialfaktoren in Reihen auflöst und dividiert, 

 erhält man die bequemere Näherungsformel: 



t= ^ 1 + -r (^t -^\ . 



l^gp f ^^ 4: \ l ) S 



Für den Fall, daß der Durchmesser l im Vergleich zur Wassertiefe 

 sehr groß, also pß ein sehr kleiner Bruch ist, wird 



t = --ß^ . . . . . . XXXIII 



Sonst empfiehlt sich auch hier die Einführung eines Hilfswinkels, ähnlich 

 wie früher S. 16, 



cot ^ = e'^^' 

 danach : 



t'= ^'''\, XXXIV 



g . cos 2 (j> 



Man gelangt zu diesen Formeln auch , wemi man sich der Entstehung 

 der stehenden Wellen durch Reflexion fortschreitender Wellen erinnert. In 

 flachem Wasser war nach Airys Formeln XIV bis XVI 



X 



1/^ 



X und wenn -r- = 



!7 ß ? 2^V [/gp ' 



Beachten wir, daß t = t und für eine uninodale Schwingung l = 2 1, so erhalten 

 wir die Meriansche Gleichung. Bsi einer binodalen Schwingung (Fig. 41 

 und 43) , wo l = ),, würde die 



Schwingung in der Hälfte der -^^ß- ^^• 



Zeit t erfolgen. Bei einer trino- ^ ^ D F B 



dalen Schwingung (s. Fig. 40) ist- . ______^ 



/. = \ l, erfolgt die Schwingung _— ^^^-^^"^^^^^^^^ ■ _T^^^^^--^'~^^~-~^-~_ 



also auch in ^2 . \ = % der L 

 Zeit t usf. , bei einer w-nodalen 

 Schwingung in ^jn t. Hier tritt 

 die Analogie zu den harmonischen Obertönen eines Grundtones wieder her- 

 vor. Anderseits ergeben sich, wenn wir die einzelnen Teile von X betrachten, 

 die aus der beistehenden Fig. 43 ohne weiteres ersichthchen Beziehungen: 

 1= AB, 1 = 2 AD oder 2 DB, 1 = 2 EF, l = 4 AE oder 4 FB, worauf 

 später noch zurückzukommen ist. 



*) Über die Bewegung tropfbarer Flüssigkeiten in Gefäßen, Basel 1828, S. 31. 



Stehende Welle mit zwei Knoten. 



