[Q2 Stehende Wellen. 



ungemein mühsame und zeitraubende Sache, auch wenn man die von Ghrystal 

 und Halm später gegebenen Hilfstafeln benutzt. Auch die von den Japanern 

 Honda und Genossen angegebene Näherungsformel ist noch immer umständlich 

 zu handhaben. AVir können die Formel vereinfacht schreiben: 



t = -4L^ h + ^ S Ta^ . cos -^^"1 j . . . XXXVI 

 \ gp ' ^i L / J ) 



Das entscheidende Glied ist das hinter dem Summenzeichen. Die x werden 

 von dem einen Ende des Beckens aus gezählt und ihre Gesamtsumme ist = /. 

 Jedes Einzelglied der Summe ist stets ein echter Bruch, wobei sich die Kosinus 

 nach den beiden Beckenenden hin der 1 nähern, nach der Mitte hin immer 

 kleiner werden, in der Mitte selbst (bei x = V2 1) ^i^ll sind. Wird AQ, d. h. 

 die Änderung des in Schwingung versetzten Wasseryolums, positiv für die 

 Gegend an den Enden, so fügen sich große positive Glieder in die Summe ein, 

 während die kleinen Glieder in der Mitte fast wirkungslos bleiben: es kommt 

 also eine Vergrößerung der Gesamtsumme und damit der Periode heraus. 

 Umgekehrt wird eine Kontraktion nach den Enden hin lauter kleine Glieder 

 liefern, also verkleinernd auf die Gesamtgröße der Periode wirken. Die Periode 

 wird also über die eines rechtwinklig gedachten Beckens von überall gleicher 

 Breite und Tiefe hinaus verlängert, wenn sich das Becken nach den Enden 

 hin räumlich erweitert oder wenn es sich in der Mitte zusammenzieht (wie 

 bei konvexen Becken oder seitlich eingeschnürten Seen). Umgekehrt wird 

 die Periode verkürzt, wenn an den Enden eine Raumverengung oder nach 

 der Mitte hin eine Raumerweiterung vorhanden ist, wie bei konkaver Nor- 

 malkurve. 



A. E n d r ö s ^) hat darauf hingewiesen, daß, wofern sich für ein Wasser- 

 becken vom einen Ende bis zum ersten Knoten der stehenden Welle eine 

 regelmäßig gestaltete Normalkurve ergibt und man diesen Teil der Normal- 

 kurve durch eine Gerade, einen Parabel- oder Quarticbogen ersetzen kann, 

 die Dauer t der Hauptschwingung mit derjenigen eines symmetrisch 

 gebauten Beckens übereinstimmen muß, das eine Länge gleich dem dop- 

 pelten Knotenabstand hat. Wenn dem Knotenabstand auf der Abszissen- 

 achse die Länge l zukommt und der betrachtete Teil der Normalkurve als 

 eine geneigte Gerade usw. aufzufassen ist, so erhält man der Reihe nach 

 folgende einfache Formeln: 



für eine Gerade t = Ö.o22 — 'rr— 



ein konkaves Parabelstück t — 

 eine konkave Quartickurve t = 



-l 



2\/:^gk 

 %l 



XXXVII 



wo k die senkrechte Ordinate am Knotenpunkt bedeutet. Für die Aus- 

 rechnung beachte man, daß die Knoten werte l in Quadratmeter, k in 

 Kubikmeter gegeben und ihre Größen aus der Normalkurve unmittelbar 

 abzulesen sind. 



Unter der Annahme, daß die Breite des schwingenden Wasserbeckens 

 überall gleich und der Querschnitt rechteckig sein möge, ergeben sich 

 noch einfachere Beziehungen, die für erste Annäherungen ganz brauchbare 



1) Sitzungsberichte Kgl. Bayr. Akad. der Wiss. München 1905, Bd. 35, Heft 3, 

 S. 457 f. und später ausführlicher in Pet. Mitt. 1908, S. 40 ff. 



