SUE LES INTEGEALES AUX DIFFERENCES 



FINIES*. 



ON peut evaluer I'integrale 



(1) fdxfdy . . . fdzf (x, y, . . . , z), 



dans laquelle les variables x, y, . . . , z doivent prendre toutes les 

 valeurs positives qui satisfont a 1'inegalite 



(2) ^r (a?, y,.. .,)<*, 



en rempla9ant dans la formule (1) la fonction <f> par une fonction 

 discontinue, qui devient e*gale a zero pour toutes les valeurs 

 des variables non comprises dans la formule (2). On peut alors 

 etendre les integrations depuis ze*ro jusqu'a 1'infini, ce qui sim- 

 plifie beaucoup les calculs. 



Je crois que c'est a M. Lejeune-Dirichlet qu'est due 1'idee 

 de cette maniere d' ^valuer les inte'grales multiples ; c'est ainsi 

 qu'il a obtenu, il y a quelques annees, une generalisation tres- 

 remarquable d'un the*oreme du a Euler. 



La thdorie des int^grales d^finies nous fournit plusieurs 

 moyens d'exprimer les fonctions discontinues ; je me suis servi, 

 pour cet objet, du theoreme de Fourier. Au moyen de ce the*o- 

 reme, j'ai de'termine', dans un petit M^moire inse're* dans le 

 Journal de Mathematiques de Cambridge f, les valeurs de deux 

 integrates multiples. La premiere de ces integrates revient a 

 la generalisation qu'a donnee M. Liouville du resultat de 

 M. Dirichlet ; mais je crois que la seconde est nouvelle. 



* Extrait du Journal de Mathematiques pures et appliqutes, Tome IX. 1844. 

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