232 SUR LES INTEGRALES 



voici le theorenie de M. Liouville : 



\dx \ dy ... { 



J JQ J 



. 



II est vrai que cette equation n'est qu'un cas particulier du 

 resultat qu'a donne* M. Liouville, mais malheureusement nous 

 ne pouvons pas generalise! la formule (17) en supposant que 

 l'e*tendue des sommations soit donne*e par rindgalite* 



ax + ~by + . . . -f cz ^ A, 

 sans au moins lui donner une forme beaucoup plus complique*e. 



A present, ddsignons, suivant la notation usite*e, par [x] p la 

 fonction -, _ -- ^ (nous aurons, quand p sera un nombre 



entier, 



[x] p = x.x-l ... x-p + 1), 



et tachons d'dvaluer la somme suivante, 



dans laquellea? peut prendre toutes les valeurs^ l,p,p+l, etc., 

 tandis que y peut prendre toutes les valeurs q 1, ^, g' + l, etc., 

 et ainsi de suite pour les autres variables. L'^tendue des som- 

 mations est de'termine'e par 1'indgalite 



... , 



dans laquelle h est egale ap + ^+...r + un nombre entier. 

 Nous allons premierement trouver les valeurs de 



^1 H 1 *" 1 cos aa? > et ^- e ^i IXF" 1 sm aa? * 



Puisque nous avons 



il s'ensuit que 



