022 Achtes Kapitel. 



(a+b)i= i+i 



(a+b)2= I+2 + I 



(a+b)3= 1+3-U3-I-1 



(a +b)4== I +4+6 +4 + 1 

 etc. etc. 



(a -j-b) 10= I -f- 10 + 45 + 120 + 210 + 252 + 210 -\- 120 +45 -f 10 -p I. 

 In den früher mitgeteilten, empirisch ermittelten Werten für die Varianten- 

 reihen in verschiedenen Fällen fluktuierender Variabilität wurde eine 

 sehr ähnliche symmetrische Verteilung der Zahlen um ein Mittel 

 aufgefunden. Es ist geradezu überraschend, zu sehen, wie weit die 

 Übereinstimmung zwischen den Berechnungen der abstrakten Mathe- 

 matiker und den empirischen Feststellungen geht. Um dies dem Leser 

 zu zeigen, seien zwei Beispiele: Quetelets Messungen an Soldaten 

 und JoHANNSENS Messungen an Bohnen, noch einmal angeführt. Hier- 

 bei ist unter die wirklich gefundenen Zahlenwerte der Variationsreihe 

 die berechnete ideale Zahlenreihe gesetzt: 



Größe der Soldaten in 



Zoll 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 



Zahl d. Soldaten pro 1000 2 2204875 117 134 157 140 121 80 57 26 13 5 2 i 



Theoretische Zahlen 5 9 21 42 72 107 137 153 146 121 86 53 28 13 5 2 o 



Das zweite Beispiel betrifft die Variation des Gewichts von 533 Bohnen 

 einer reinen Linie nach Johannsen: 



Klasseneinteilung 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 cg^ 

 Zahl der Bohnen 3 9 28 51 lii 174 loi 44 6 o i 5 

 Theoretische Zahlen 2 8 29 71 117 132 100 52 18 4 



Um die Wirkungen des Zufalls mit ihrer Gesetzmäßigkeit zu ver- 

 anschaulichen, hat der englische Forscher Galton einen Apparat, der 

 auch als Kinderspiel bekannt ist, konstruiert. Dieser besteht, wie Fig. 

 49 zeigt, aus einem flachen, etwas schräg gestellten Kasten, der an seinem 

 unteren Rand durch vertikale Leisten in 17 gleichgroße Fächer ab- 

 geteilt ist. In einer darüber gelegenen Zone sind viele Nadeln in Reilien 

 mit regelmäßigen Abständen so angebracht, daß die Nadeln jeder Reihe 

 genau in der Mitte der Zwischenräume der folgenden Reihe stehen. 

 Im obersten Bezirk findet sich zur Aufnahme kleiner Schrotkörner 

 ein trichterförmiger Raum A mit einer kleinen Oeffnung B, durch welche 

 die Schrotkörner einzeln nach unten hinabrollcn und hier in die mit 

 Nadeln bedeckte Zone geraten. Bei jedem Anstoß an eine Nadel haben 

 sie die gleiche Chance, entweder nach rechts (+) oder nach links ( — ), 

 wie es der Zufall trifft, abgelenkt zu werden. Wären die Nadeln nicht 

 als Hindernis im Wege, so müßten alle Schrotkugeln durch die Triclitcr- 

 öffnung in das gerade darunter gelegene Fach fallen. Indem sie aber 



