Auftreten der blatteigenen Gefäßbündel. 251 



Fig. 133 in der Querfchnittsebene je weiter nach der Spitze, immer kleinere 

 Kreisquerlchnitte zeigt, fo verlaufen die gedachten Verbindungslinien in 

 der That im Spiral. Diefelben Linien find im aufgewickelten Cylinder, 

 Fig. 136, Schiefzeilen, welche hier durch Gefäßfpuren verbunden find. 



y) Beziehungen zwifchen Grund-, Seitenfpiralen und 

 Orthoftichen^). 



I. Beziehung der Anzahl. 

 In jeder Parafl:iche ifl der «te Theil der Blattgebilde ent- 

 halten, welche die Grundfpirale verbindet, n ift die Anzahl der ge- 



Laboratory notes hy Professor Tait. Proceedings of the royal soc. of 

 Edinburgh. 1870— 1871. S. 381. Es möge in .,4 a dasfelbe Blatt in dem aufgewickelten 

 Zweig oder Tannenzapfen dargeftellt fein, in O ein anderes Blatt, welches von A durch tn 

 Schritte auf einer rechtsumläufigen Spirale erreicht werden kann, welche in die gerade Linie 

 A O aufgewickelt ift und durch n Schritte von a auf dem Wege einer linksumläufigen Spirale 

 entfernt ift. Diefe Spiralen können allgemein fo gewählt werden, daß m und n kleine 

 Zahlen, 3, '5, 8, 13 . . . find, doch fie müfl"en und können immer ^fo gewählt werden, daß 

 VI Spiralen parallel zu a O, und n Spiralen parallel zu A O, 'jede für fich ein Syftem bilden, 

 welches alle Blätter des Cylinders (Stammes) oder Kegels (Zapfens) enthält. 



Haben m und n einen gemeinfamen Theiler X, fo find ). — i Blätter außer A auf 

 derfelben Linie A a eingefügt. Die Anordnung ift zufamm engefetzt und es exiftiren als- 

 dann \ verfchiedene Grundfpiralen. Sind m' und n' die Q.uotienten aus vi und n durch 

 X, fo find diefe wie m und n weiter unten zu behandeln und diefer Fall fällt dadurch mit 

 dem einfacheren zufammen und braucht nicht weiter verhandelt zu werden. 



Es ift einleuchtend, daß, um die Grundfpirale zu fuchen, wir das zu A a nach O 

 zu nächfte Blatt wählen müflen, als dasjenige, welches auf A oder a folgt. Die Spirale 

 wird rechtsumläufig, wenn P, fie wird linksumläufig, wenn p das Blatt ift. Selbftredend 

 können wir im erfteren Fall eine linksumläufige Spirale und eine rechtsumläufige im 

 letzteren Fall bilden, doch wird alsdann die Divergenz größer als zwei Rechte, und dieß 

 fcheint die Mehrzahl der Botaniker zu vermeiden. 



Zieht man P Q parallel zu a O und p parallel zu A O, fo befteht die geforderte 

 Bedingung: 



— A Q — PQ oder — aq — bq 



müfl'en fo klein wie möglich fein. 



Ift ferner --- die letzte Convergente zu — und - "> — , fo ift klar, daß, um 

 V «V n 



nach P zu kommen, wir (j. Blätter in der Richtung A Q und v in der Richtung Q P zählen 



muffen. Ift hingegen -— <^ — , fo zählen wir v Blätter in der Richtung a q und [jl 



längs q p. Sind P und p fo gefunden, fo ift damit das nächfte Blatt nach der Grundfpirale ge- 

 rechnet zu A oder a beftimmt, das nächftfolgende wird auf demfclben Wege gefunden. 



Es ift nicht nöthig, die Entwicklung, wie fie oben gegeben, auf einen Umgang 

 um den Kegel zu befchränken. Vorausgefetzt, wir gehen mehrmals um den. Kegel, und 

 A, a, a u. f. f. find aufeinanderfolgende Pofitionen desfelben Blattes. Die Betrachtungen 



