254 m. Vollkommenere AnpafTung an die climatifche Periode. 



Cylinderquerfchnitt zu thun haben, deffen Radius =^ / gefetzt ifl.) Um diefen 

 Abftand ift das 2. Blatt von dem i., das 3. von dem 2. entfernt u. f f 

 Suchen wir den Abftand des i., 2., 3, . . . «ten Bhittes von einem feften 



P P P 



Ausgangsbhitt, fo ift diefer i. 2'k-—, 2. 2tz .j . . .nirc^y, wo alfo ;/ alle 



ganzen Zahlen durchläuft. Die fteilften Seitenfpiralen (Paraftichen) ent- 



ftehen durch Verbindung derjenigen Infertionspunkte, deren feitliche Diver- 



P I 



genz nicht -tt^tt, fondern ^T-^^ beträgt. Es laflen fich immer zwei Sy- 



fteme folcher auffinden, bei welchen alle Einzelfeitenfpiralen des einen nach 

 rechts, die des andern nach links gewunden find. Eine allgemeine Eigen- 

 fchaft der Anzahl folcher Spiralen in dem einen und andern Syftem ifi:, 

 daß die Anzahl in dem einen 7 zu der Anzahl y^ der andern addirt Q gibt, 



p 

 dafern ^ der Vorausfetzung nach ein folcher ächter Bruch ift, daß Zähler 



und Nenner relative Primzahlen find. Es foU über y und y^ noch die Be- 



ftimmung getroffen fein, daß y <C 7^- 



Als erftes Problem follen die Beziehungen der fteilften Paraftichen 



P 

 gefunden werden zu dem conftanten Verhältniß yy-. Wir bedienen uns des 



P . 



abgewickelten Cylinders Fig. 137 und wählen als -^fpirale die Divergenz ^/s. 



Das Problem fordert zunächft die Zahl der Paraftichen. Als Bedingung der 

 Lage eines Punktes in einer diefer Spiralen haben wir die Gleichung 



I ^«-|-Y = 'f« + "7^ > 



welche ausfiigt, daß von einem Infertionspunkt, der beziffert ift 9« und als 

 Ausgangspunkt angefehen wird, zu einem andern Punkt gefchritten werden 



foU, der um -^ von 9 n nach links oder rechts entfernt ift und deflen Zahl 



um Y größer ift als die des Ausgangsblattes. Die Zahl y in dem Index 

 links foll beftimmt werden. Multipliciren wir y mit P nnd dividiren das 

 Product durch O, fo können wir zum Reft erhalten -f~ i oder — /. Wir 

 erhalten zwei Gleichungen, welche diefe Operationen darfteilen: 



2« ^ PY = a(2 + /; PT^ = ßß-/, 



da wir von einem feften Punkt nach rechts hin und nach links gehen können, 

 um der Anforderung der obigen Gleichung i" zu genügen. Gehen wir in 

 unferem Schema nach rechts, fo möge die Zahl y» gehen wir nach links, 

 io möge fie y^ heißen. In der Figur haben die Einzelpunkte nur eine Be- 

 nennung, nach dem Vorftehenden kommen denfelben drei verfchiedene Be- 

 nennungen zu, je nachdem wir fie im Sinne der Grundfpirale oder im Sinne 



