Auftreten der blatteigenen Gefößbündel. 255 



einer der zwei Paraftichen mit einander verbinden. Addiren wir die beiden 

 Gleichungen in 2^ fo kommt: 



3 







p(y + T^) = Q(^- + ß). 



In unferem Schema könnte y der geometrifchen Bedeutung nach fo- 

 wohl die Zahl 3 fein, und fo ift die Benennung der Punkte ausgeführt, als 



auch die Zahlen 5, 7, 9 Die Definition der «Grund-Spirale» der 



ScHiMPER-BRAUN'fchen Lehre aber fordert die kleinfte Zahl, welche der Be- 

 dingung der Gleichung i" genügt. In unferem Schema ift Y = i, Y^ = /• 

 Die Bedingungsgleichungen für de^ Werth von 7 und ^^ unter i ^ verlangen, 

 daß ^(P und y^P durch Q getheilt werden können. Da nun P nicht durch 



p 

 Q getheilt werden kann (nach der Definition von yy), fo muß (7 -|- y^) 



durch Q theilbar fein. Nach der ScHiMPER-BRAUN'fchen Definition einer 

 Spirale muffen y und y^ für fich kleiner als Q fein. Es können mithin auf 

 Paraftichen nur folgende Punkte liegen: 



1. Paraftiche rp^, (c^ -\- Y,'f "^ + 2^,fp^ + JY- 



2. » 'f \ rp^ -f- Y,<?^ -j" 2Yi®^ -]- JY- 



3. » 'f^?^ + Y/f^ + iY, • • 



4. » 



©Y — I, 'f Y — -'' "h Y 



Die Anzahl diefer Spiralen ift y, ihre Divergenzwinkel -yr und 



1. Paraftiche (p\'f -\- ff + 2fy -}- )f 



2. » 9\9^ + f^^ + 2f,f^ßf 



3. » 'f',<p^ + Y 



» 

 » 

 » 

 » 



Y^ » 



yi — 7,(pY' — i + y' 



2TZ 



Die Anzahl diefer Spiralen ift f, ihre Divergenz yr-, wenn man in 



beiden Fällen mit Nägeli vom o-Blatte die Bezifferung anfängt. Nach der 

 NÄGELi'fchen Bezifferungsweife, der ScHiMPER-BRAUN'fchen Definition der- 

 jenigen VerbindungsHnie, welche man Grundfpirale nennt, und nach der 



p 

 ScHiMPER-BRAUN'fchen Definition des Bruches —y hat man alfo aus dem 



Vorftehenden den ganz allgemeinen Satz: 



