256 III. Vollkommenere AnpafTung an die climatifche Periode. 



P . 



Zu einer jeden .yfpirale gehören zwei Syfteme fteilfter Spiralen, von 



welchen das eine 7-, das andere 7^-zählig ift, und 7 und 7' fo beftimmt 

 fmd, daß 



Y 4- 7I = ^ und ^J zum Reft läßt + /. 



Sind alle diefe Relationen erfüllt, fo ift die Richtung der Grundfpirale 

 die der Yfpiralen. Die v^fpiralen fleigen in entgegengefetzter Richtung. 



Das zweite Problem ift nur di| Umkehrung des erften und findet 

 in der Praxis der Beftimmung des Blattftellungsverhältnifles feine Verwen- 

 dung. Wenn nur die fteilften Paraftichen bekannt fmd ihrer Zahl und 



P 

 Richtung nach, fo foll die Richtung der Grundfpirale und der Bruch — - 



beftimmt werden. Wir wifl'en, daß die Grundfpirale der Formel genügt 



(pn= y^Pn und ihre Definition ift, daß fie alle Infertionspunkte berührt. 



Da wir 7 und 7^ durch Abzahlung beftimmen, fo können wir mit diefen 

 nach den obigen Relationen zunächft P und Q beftimmen nach den Glei- 

 chungen 



1° P7 =7-faÖ, 



2« , P7^=i + ßö' 



Man hat, indem i'' mit ß, 2" mit a multiplicirt und 2" von i" ab- 

 gezogen wird: 



„ -4-- ß 



a 4- ß = PfßY — «77) und hieraus P = y~ ~^. 



^ ^' ^ (7ß — dL^i) 



Ferner indem man in 1° mit 7^, in 2" mit 7 multiplicirt und 2^ von 

 I** abzieht: 



^ ß7 + af 

 Da nun P und Q ganze Zahlen fein foUen, fo muß ß7 — «7^ = + 7 

 fein; dieß ift nur dann der Fall, wenn ß <C 7^ und a <C 7 und wenn 7 und 

 7^ keinen gemeinfamen Theiler haben. Ift in der Löfung der Gleichung 

 das obere Zeichen giltig, bleibt zum Reft -j- i, fo fteigt die Grundfpirale 

 wie die 7fpiralen; gilt das untere Zeichen, fo fteigt fie wie die 7^fpiralen. 



In der Figur ift die Bedeutung von a, ß, 7, 7^ demonftrirt, fo 



daß es jedem Lefer ein Leichtes fein wird, diefe Methode auf jeden Fall 



P . 



einer yyfpirale anzuwenden. Wir erhalten für die Reihe ^'2, Va, ^/ö, ^/s, 



^Ii3, ^/2i, ^^/34 ... die nachfolgende Tabelle für a, ß, 7, 7^ und die aus dem 

 Obigen entftandenen wichtigen Quotienten. 



In der Tabelle ift noch die Richtung derjenigen Spirale angegeben. 



