Auftreten der blatteigenen Gefäßbündel. 277 



im Art 2 ^/s feitliche Divergenz «in Umlauf der Fafer auf 18 Umläufe 



der Grundfpirale, 

 » » 4 ^/s » '» ein Umlauf der Fafer auf 6 Umläufe der 



Grundfpirale. 



Jetzt läßt fich ein einziger Umlauf der Fafer in ganzen Umläufen der 

 Grundfpirale ausdrücken. 



Die allgemeine Behandlung diefer Aufgabe hat ein morphologifches 

 InterelTe, iie ift indeß nur eine Erweiterung der früher behandelten Pro- 

 bleme (f. S. 253). Sie kann fo ausgefprochen werden: «Wenn an einem 

 regelmäßigen Zweige durch die Beobachtung -bekannt find: die feitUche 

 Divergenz, diejenige Paraftiche, in welcher die Fafer verläuft, und der 

 fenkrechte Abftand zweier Blätter, fo foU ein Stammumlauf der Fafer aus- 

 gedrückt werden durch eine Stammlänge». Wir fuchen zuerft die Anzahl 

 geringer Stammumläufe der Faferparaftiche auszudrücken durch ganze 

 Stammumläufe der Grundfpirale, Von einem gegebenen Blatte o, dem 

 erflen Schnittpunkt der zwei Spiralen, gehen wir aus und fuchen als 

 zweiten Schnittpunkt beider Schraubenlinien ein Blatt, welches in der- 

 felben Orthofliche liegen muß, in welcher o liegt. Offenbar muß die Zahl 

 des zweiten Schnittpunktes fo befchaffen fein, daß fie fowohl den Nenner 

 des Divergenzbruches, als auch die coordinirte Paraftichenzahl als gemein- 

 fiimen Theiler enthält. Es möge als Beifpiel in der ^/5-Stellung, wie bei 

 der Eiche, der zweite Schnittpunkt gefucht werden für die 2er und 3er 

 Faferparaftichen. Für die erftere kann er nur 10., mit den gemeinfamen 

 Theilern 5 und 2, für die letztere kann er nur 15, mit den gemeinfamen 

 Theilern 5 und 3 fein. In derfelben Weife erhält man in der ^/»-Stellung 

 für die 2er, 3er, 5er u. f. f. Faferparaftichen das 8., 24., 40te u. f. f. Blatt 

 als zweiten Schnittpunkt. 



Nun ift es leicht, aus der Zahl des gefundenen zweiten Schnittpunktes 

 die Anzahl der ganzen Kreisumläufe der Grundfpirale zu finden. Sie ift 

 offenbar gleich ZjO y, wo Z die Zahl des Blattes im zweiten Schnittpunkt, 

 Q den Nenner des Divergenzwinkels und y die Zahl der betreffenden Fafer- 

 paraftiche bedeuten. Für unfere beiden Paraftichen der 2er und 3er in 

 der '"^/ö-Divergenz erhalten wir 4 Kreisumläufe für die 2er Faferparaftiche 

 und 6 Kreisumläufe für die Grundfpirale bis zum zweiten Schnittpunkt mit 

 der 3er Faferparaftiche. 



Auf jene ganzen Kreisumläufe der Grundfpirale muß aber eine ganze 

 Anzahl von ebenfolchen für die betreffenden Paraftichen kommen. Um 

 diefe letzteren zu erhalten, ift eine weitere Betrachtung nöthig; man muß 

 die feitliche Divergenz jeder gegebenen Paraftiche kennen. Diefe findet 

 man nach der obigen Abhandlung (f S. 253), wenn man beachtet, daß 

 alle zu einem gegebenen Divergenzwerth gehörigen Paraftichen 2, 3, 5, 8 



