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Wird demnach eine gegebene Zahl z. B. zum Quadrat erhoben und aus 

 derselben die Quadratwurzel gezogen, so erhält man als Wurzel die 

 gegebene Zahl. Es ist also z. B. 



K64=/82 = 8, weil 82 = 64 ist. Ebenso ist 



3 3 



K343=K73=7, weil 73 = 343 ist. 

 Beim Ausziehen der Quadratwurzel (beziehungsweise Kubikwurzel) 

 ist aus dem Radikanden eine Zahl zu suchen, welche zum Quadrat (be- 

 ziehungsweise Kubus) erhoben, den Radikand gibt, z. B.: 



3 



K25 = 5, denn 5-^ = 25 oder /l25 = 5, denn b'^=\2b. 

 Die Quadratwurzeln aus den Quadraten der einziff erigen Zahlen sind: 

 fÖ"=0, fT=l, YT=2, f"9"=3, ^16 = 4, f25 = 5, 



K36 = 6, Yrd = 7, f64 = 8, KsT = 9. 



Die Kubikwurzeln aus den Kubussen der einzifferigen Zahlen sind: 

 3 3 3 3 3 3 



Ko=0, Kl=l, K8=2, K27=3, ^64= 4, Kl 25 =5, 

 3 3 3 3 



/216 = 6, "^343 = 7, K512 = 8, ^729 = 9. 



Aus diesen Wurzeln ist ersichtlich, daß es z. B. unter den ganzen 

 Zahlen von 1 bis lOi) nur wenige gibt, deren Quadrat- oder Kubik- 

 wurzeln ganze Zahlen sind. Hieraus folgt, daß die Quadrat- und Kubik- 

 wurzeln der übrigen ganzen Zahlen zwischen 1 und 1 Ou gebrochene 

 Zahlen sein müssen. Dasselbe gilt von den Wurzeln der ganzen Zahlen 

 über 100. Alle Wurzeln aus ganzen Zahlen lassen sich, soweit sie nicht 

 selbst ganzzahlig sind, durch Dezimalzahlen darstellen. Es ist z. B. klar, 

 daß } 70_zwischen 8 und 9 liegen muß, da 70 zwischen 8- und 9^ 

 liegt, y 70 muß also ein Dezimalbruch sein, dessen Ganze 8 betragen 

 und dessen Dezimalstellen vorläufig unbekannt sind. Ebenso wird z. B. 

 die Quadratwurzel aus einer dreistelligen (oder mehrstelligen) ganzen 

 Zahl eine Zahl sein, die außer den Einern und Zehnern (eventuell 

 Hundertern, Tausendern etc.) in der Regel noch Dezimalstellen enthält. 

 Die Wurzeln aus Dezimalzahlen oder gemeinen Brüchen müssen selbst- 

 verständlich jederzeit wieder Dezimalzahlen, beziehungsweise gemeine 

 Brüche sein. 



Das Rechnungsverfahren, nach welchem die Quadratwurzel und 

 die Kubikwurzel aus beliebigen ganzen Zahlen, aus Dezimalzahlen sowie 

 aus Brüchen gezogen wird, soll in den §§ 68 und 70 näher begründet 

 werden. An dieser Stelle finden vorläufig die Ausführungsregeln für das 

 Quadratwurzel- und Kubikwurzelziehen Platz. 



§ 31. Das Ausziehen der Quadratwurzel. 

 aj Die Quadratwurzel aus ganzen Zahlen. 



Regel (und Beispiel): Die Quadratwurzel aus einer gegebenen 

 ganzen Zahl (z. B. 5,654.895) wird auf folgende Art gefunden: 



1. Die gegebene Zahl, der Radikand, wird von rechts nach links 

 in Abteilungen von 2 Ziffern geteilt (also 5 65|48 95). Die erste Ab- 

 teilung links kann allenfalls auch nur eine Ziffer (5) enthalten. Sodann 

 wird das größte Quadrat (4) jener ganzen, stets einzifferigen, Zahl (2) 



