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VII. Kapitel. 



Die Verhältnisse und Proportionen. 



§ 34. Die Verhältnisse. 



Durcli die Vergleicliung zweier gleichartiger Größen entsteht ein 

 Verhältnis. Die beiden verglichenen Größen werden die Glieder des 

 Verhältnisses genannt. 



Gibt ein Verhältnis Aufschluß über die Frage, um wie viel das 

 eine Glied größer ist als das andere, so haben wir ein arithmetisches 

 Verhältnis (die Differenz) vor uns, z. B. '6 — 2; ist aber die Frage, wie 

 vielmal ein Glied größer ist als das andere, zulässig, dann liegt ein geo- 

 metrisches Verhältnis (der Quotient) vor, z. B. 12:3(=~ = 4). 



Die Glieder eines Verhältnisses sind entweder unbenannt und 

 geben als solche ein Zahlen Verhältnis, oder es sind beide Glieder 

 benannt und bilden dann ein Größenverhältnis. 



Gewöhnlich versteht man unt r einem Verhälln'sse schlechtweg ein 

 geometrisches Verhältnis, und es soll im Nachstehenden auch nur von 

 den geometrischen Verhältnissen die Rede sein. 



Ein geometrisches Verhältnis Avird angeschrieben, indem man die 

 zu vergleichenden Zahlen mit dem Divisionszeichen verbunden neben- 

 einandersetzt, z.B. 12:3, gelesen 12 verhält sich zu 3, oder kurz 12 zu 3. 

 Die Zahl 12 dieses Verhältnisses heißt das Vorderglied, die Zahl 3 das 

 Hinterglied, und der Quotient (also 12:3=) v oder 4 der Exponent 

 des Verhältnisses. 



Da jedes Verhältnis eine angezeigte Division vorstellt, so gelten für 

 alle Verhältnisse folgende Regeln: 



1. Der Exponent eines Verhältnisses ist gleich dem Vordergliede 

 dividiert durch das Hinterglied. Z. B. 12:3; Exponent = ^j^ = 4. 



2. Das Vorderglied eines Verhältnisses ist gleich dem Hintergliede 

 multipliziert mit dem Exponenten. Z. B. 12:3 = 4; es ist daher das Vorder- 

 glied 12 = 3.4. 



3. Das Hinterglied ist gleich dem Quotienten aus dem Vorder- 

 gliede und dem Exponenten. Z. B. 12:3 = 4; llinterglied 3 = 12:4. 



4. Zwei oder mehrere Verhältnisse sind gleich, wenn sie gleiche 

 Exponenten haben. Z. B. 2U : 5, 28:7, :^2 : 8 usf. 



.'). Verhältnisse bleiben unverändert, wenn man beide Glieder mit 

 der gh'ichen Zahl multipliziert, oder durch dieselbe Zahl divitliert. 



Auf die letzte Regel gestützt, ist es m(")glich, ein Verhältnis, dessen 

 Glieder Ik-üche enthalten, in ganzen Zahlen dai-zustelleu, oder ein Ver- 

 hältnis, dessen Glieder ein gemeinsames Maß besitzen, durch die kleinsten 

 Zihlen auszudrücken, d. i. zu kürzen. 



'A. B. a) l:l^'!!l:'!^^:)H):2i; b) -iS : 'Aö ~ i:'^- 

 (•; 3-35 : 7-6 5 ^^ 335 : 70 5 " ()7 : 15:{. 



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