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Multipliziert mau vou zwei oder mehreren Verhältuissen die Yorder- 

 uud Hiutergiieder je für sich miteinander, so entsteht ein zusammen- 

 gesetztes Verhältnis. Ein solches lautet für die einfachen Verhältnisse: 



13:4 3.5.7:4.6.8 oder 105:192. Kann ein zusammengesetztes 



b :6 2 Verhältnis gekürzt werden, wie in unserem Falle durch 3, 

 7 : 8 nimmt man die Kürzung direkt an den untereinander ge- 



schriebenen einfachen Verhältnissen vor, wie dies in dem Beispiele 

 durchgeführt erscheint. Es lautet dann das gekürzte zusammengesetzte 

 Verhältnis 1.5.7:4.2.8 oder 35:64. 



i^ 35. Die Proportionen. 



Werden zwei Verhältnisse mit demselben Exponentön durch das 

 Gleichheitszeichen verbunden, so entsteht eine Proportion. Die Ver- 

 hältnisse 12:3 und 20 : 5 haben beide den Exponenten 4 und lauten als 

 Proportion 12 : 3 = 20 : 5, gelesen: 12 verhält sich zu 3, sowie sich 20 zu 5 

 verhält, oder kurz 12 zu 3, sowie 20 zu 5. 12 und 5 sind die äußeren, 

 3 und 20 die inneren Glieder der Proportion. Sind die beiden letzteren 

 gleich, so ist dia Proportion eine stetige und die Zahl selbst das 

 geometrische Mittel oder die mittlere geometrische Proportio- 

 nale der beiden äußeren Glieder. Z. B. 18:6^6:2. Hier ist 6 das 

 geometrische Mittel zwischen 18 und 2. 



1. Die Proportionen 6:3= 8:4 und 



10:5 = 12: (5 sind entstanden durch die Gleich- 

 stellung von Verhältnissen mit dem Exponenten 2. 



Bilden wir nun in jeder Proportion das Produkt aus den inneren 

 und äußeren Gliedern, so erhalten wir im ersten Falle 6 X ^ = 24 und 

 3X8 = 2-1-, im zweiten Falle lOX 6 = GO und 5 >< 12 =60. Daraus folgt: 



Eine Proportion ist richtig: a) wenn die Verhältnisse, aus 

 denen die Proportion besteht, gleiche Exponenten haben, und 

 h) wenn das Produkt der äußeren Glieder gleich ist jenem der 

 inneren Glieder. 



2. Mit Hilfe des Satzes hj ist es möglich, in einer Proportion ein 

 vorhandenes unbekanntes Glied durch Rechnung zu finden, d. h. die 

 Proportion aufzulösen. Man bezeichnet ein unbekanntes Glied in 

 einer Proportion gewöhnlich mit x oder y, auch z, und berechnet das- 

 selbe wie folgt: 



Beispiel : 



X : 9 = 48 : 1 6. Nach Satz 1 h) muß das Produkt 16.x gleich sein 

 dem Produkte 9 . 48, also 

 16. x= 9.48. AVenn das ißfache von x gleich ist 9.48, so ist 

 das einfache x der 16. Teil von 9.48, also 



9 . 4S „ _ 



X lö '^'■ 



Hieraus folgt für das Auflösen einer Proportion folgende 

 Regel: 



a) Ein unbekanntes äußeres Glied in einer Proportion wird 

 gefunden, indem man das Produkt der beiden inneren Glieder durch das 

 bekannte äußere Glied dividiert. 



hJ Ein unbekanntes inneres Glied in einer Proportion ist 

 gleich dem Produkte der beiden äußeren Glieder, dividiert durch das 

 bekannte innere Glied. 



