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3. Da in einem Produkte die Reihenfolge der Faktoren ohne Einfluß 

 auf das Resultat bleibt, so muß eine Eroportion auch richtig 

 bleiben, wenn die äußeren und inneren Glieder so vertauscht 

 werden, daß das Produkt der inneren Glieder immer jenem 

 der äußeren gleich bleibt. Auf diese Weise ergeben sich aus der 

 Proportion 15 : 3 = 20 : 4 durch Vertauschung der äußeren und inneren 

 Glieder untereinander und der äußeren mit den inneren auch folgende 

 richtige Proportionen : 



4: 3 = 20:15, 3:15 = 4:20, 



15 : 20 = 3 : 4, 4 : 20 = 3 : 15 usw., 



denn in jeder derselben ist das Produkt der äußeren Glieder (CO) gleich 

 dem Produkte der inneren (60). 



4. Nach dem Satze h) im Punkte l läßt sich aus zwei gleich- 

 gestellten Produkten umgekehrt eine Proportion bilden, aus WL-lcher 

 nach Punkt 3 noch weitere Proportionen abgeleitet werden können. 



Z. B. a; 1 2 . 4 = (5 . 8 6; 1-2 . X = 6 . 8 c^ 4| . l| = 3 . 2 



12:6 = 8:4 12:6 = 8:x 4^:3 = 2 : l|-. 



5. Ebenso wie die Glieder eines Verhältnisses mit einer und der- 

 selben Zahl multipliziert, oder durch eine und dieselbe Zahl dividiert 

 werden können, ist es auch bei einer Proportion, welche ja nur die 

 Gleichstellung zweier Verhältnisse darstellt, zulässig, beide zu einer 

 Proportion verbundene Verhältnisse, oder auch nur eines derselben, 

 oder, in Ansehung des Punktes 3, je ein äußeres und ein inneres 

 Glied der Proportion iiberhaui)t mit derselben Zahl zu multi- 

 plizieren oder durch dieselbe Zahl zu dividieren. 



Durch diese Maßnahmen ist man imstande, eine Proportion ent- 

 weder von Brüchen zu befreien, oder, wenn ein äußeres und ein inneres 

 Glied der Proi)ortion durch eine Zahl teilbar sind, durch diese zu 

 k ü r z e n . 



Beispiele : 



a) X : ;^ = 3y : 5 



X • ^- — - • 5 



X . g — 3 . o 



9x:7 = 30 :45 Sämtliche Glieder mit dem kl. g. V. der 



Nenner 9 multi[)liziert und hiedurch 

 von Brüchen befreit. 



9x:7= 2:3 VAn äußeres und ein inneres CUied 



durch 15 gekürzt. 



9X 



3 . i) 



l>) X : }»= 81: (5 



5 2 Kill äußeres und ein innoi'es Glied durch ;! gekürzt. 



4 1 VAn äußeres und ein inneres (ilied dui'ch 2 gekürzt. 

 X : 5 = 4 : 1 

 X = 5 . 4 = 20. 



6. Werden in zwei odcu" meliferen l'i'opoi'tionen die gleichstelligen 

 Gli(Mlei' mitcinandei- nnilti|)liziei-t, so bilden die Pivxlukte eine neue rich- 

 tige Proportion, welche mau als eine aus den gegebenen Propoi'tionen 

 zusanimengeset/, t (^ Proportion bezeichnet. 



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