II. Abschnitt. 



Vom Rechnen mit allgemeinen und algebraischen 



Zahlen.*) 



I. Kapitel. 



Das Wesentlichste von den Rechnungsoperationen mit 

 allgemeinen Zahlen. 



s^ 54. Vorbeginffe. 



Eine Zahl, welche jede beliebige Menge von Einheiten bedeuten kann und durch 

 Buchstaben bezeichnet wird, haben wir (Seite 2) eine allgemeine Zahl genannt. 

 Z. B. u als Zahl betrachtet stellt uns eine allgemeine Zahl vor, für welche wir uns jede 

 beliebige Menge von Einheiten denken können. 



Stellen uns die Buchstaben a und h zwei allgemeine Zahlen vor, so bezeichnet, 

 ebenso wie bei den besonderen Zahlen, a -i- h die Summe, a — h die Differenz, a "X^ b 



a 

 oder u . /' das Produkt, und a : h oder y den Quotienten dieser beiden allgemeinen Zahlen. 



Das Multiplikationszeichen / oder . läßt man im Produkte gewöhnlich weg und schreibt 

 also statt a >( ^ oder a . h kurz a h. 



Sind mehrere allgemeine Zahlen durch das — oder — Zeichen miteinander ver- 

 bunden, so sprechen wir von einem mehrgliedrigen Ausdrucke oder Pulynom. 

 Die einzelnen Teile eines solchen heißen die Glieder desselben. Es ist sonach a -^ h — 

 '• — d ein mehrgliedriger Ausdruck, und a, h. c und d sind die Glieder desselben. Ein 

 mehrgliedriger Ausdruck mit 2 Gliedern heißt Binom, z. B. a — h, ein solcher mit 

 3 Gliedern ein Trinom. z. B. a -\- b — c, ein solcher mit 4 Gliedern Quadrinom usf. 

 Ein eingliedriger Ausdruck, z. B. a, wird als Monom bezeichnet. 



Ein mehrgliedriger Ausdruck von der Form a — '- '■ hat die Bedeutung, daß zu 

 der Zahl a das h'rodukt l c zu addieren ist. Wird aber verlangt, daß nicht nur die 

 Zahl /' allein, sondern auch a, also die Summe a -\-b^ mit c zu multiplizieren kommt, so 

 ist ein Zeichen notwendig, welches anzeigt, daß a und b zusammen, also die Summe 

 zu multiplizieren ist, und dieses Zeichen der iZusammengehörigkeit bilden die sogenannten 

 Klammern. Hiernach drückt (a ^ h — c -\- d) {e-\-f) die Multiplikation des Polj-noms 

 a-^l — c~d mit der Summe e^-f aus, während anderseits der Ausdruck (.a-^b — c -p 

 + (?) . e -}-/ bedeuten würde, daß nur die Zahl e mit dem Polj-nom a -\-h — c -\- d zu 

 multiplizieren und zu diesem Produkte die Zahl / zu addieren sei. 



Jeder allgemeine Zahlenausdruck zeigt, wie wir gesehen haben, die auszuführende 

 Rechnungsoperation nur an. Will man diese auf einen besonderen Fall anwenden, so 

 muß man an Stelle der allgemeinen Zahlen die besonderen setzen. 



Man hat sonach, wenn a = 4, ^' = 2, c = 1 und c? = 5 ist, a-|-6 = 4-|-2 = 6, a — 



- /- = 4 - 2 = 2, ^ = - = 2, a + 6 - c = 4 + 2 - 1 = 5, (a -f A) . (c + rf) = (4 + 2) . (1 - 



— 5) = 6.6 = 36, (a-r^).c — (? = (4 — 2). 1— 5 = 6.1 — 5 = 1 usf. 



*) Wenn dieser Abschnitt obligat in den Unterricht einbezogen wird, so ist der- 

 selbe vor dem Potenzieren und Wurzelziehen, dieses selbst aber ganz am Schlüsse der 

 Arithmetik vorzunehmen. 



