— 79 — 



Das Einsetzen von besonderen Zahlenwerten an Stelle der allgemeinen Zahlen 

 behufs Durchfiihrung der angezeigten Rechnungsoperation bezeichnet man als das Sub- 

 stituieren (S. 73). 



Aufgaben. Welche besonderen Werte erlangen die Ausdrücke: 



a 

 aj a/> — c + d, bj (a — h) . c. c) - . {c — rf), d, {a -\- h) . (a — l), wenn a = 10, l = 2, 



= 4. d = S. 



55. Die Addition allgemeiner Zahlen. 



1. Allgemeine Zahlen werden addiert, wenn man sie, durch das -|- Zeichen ver- 

 bunden, nebeneinander setzt, z. B. a 4- /> -\- c -{- d, wobei, wie bei der Addition besonderer 

 Zahlen, die Reihenfolge der Summanden ohne Einfluß auf die Summe bleibt. Es ist 

 3+4-1-5 — 7 = 7 + 54-4+3, also auch a + i + c + rf = cZ + c + Z; + a. 



2. Zu einer Zahl wird eine Summe addiert, indem man zu ihr die einzelnen 

 Summanden addiert, denn es ist einleuchtend, daß 3 + (4 + 5) = 3 + 4 -;- 5, d. h. es ist 

 gleichgiltig, ob ich zu der Zahl 3 die Summe 4 + 5^9 auf einmal hinzu zähle, oder ob 

 ich zur Zahl 3 vorerst 4 und dann noch 5 addiere. Man hat also allgemein auch 

 X + (y + 2) = a; + y + «. Ebenso verständlich ist, dali (6 + 7) + (8 + 9) = 6 + 7 + 8 -^ 9, 

 demnach auch (c? + e) + (/ + ,(7) = sein muß '^ + e+/ + _r/, oder endlich, da 7 + (8 -j- 

 + ■9 + 3 + 2 + = 7 + 8 + 9 + 8+2+ 1, auch i + (l- -j- ? + m + n + o) gleich ist i + 

 -]- k ~\- l -\- m -\- n -{' o. 



;!. Ist zu einer Zahl eine Differenz zu addieren, so addiert man zu der gegebenen 

 Zahl den Minuend und subtrahiert davon den Subtrahend, denn man erhält in dem Bei- 

 spiele 4 + (6 — 2) dasselbe Resultat, ob man nun zu 4 sofort die Differenz 6 — 2, also 4. 

 dazu zählt, oder ob man zu 4 zuerst 6 hinzu zählt und dann 2 davon abzieht. Aus diesem 

 Grunde ist allgemein *• + (y — 2) = a; + y — 2-. 



4. Ist eine allgemeine Zahl öfter als Summand zu setzen, so schreibt man dieselbe 

 nur einmal an, setzt ihr jedoch jene Zahl voran, welche anzeigt, wie oftmal die allgemeine 

 Zahl als Addend erscheint, z. B. a + a + a = 3 . a = 3 a. Die allgemeine Zahl, in diesem 

 Beispiele n, heißt Basis, und jene Zahl, in unserem Falle 3, welche anzeigt, wie oftmal 

 die Basis als Summand zu setzen ist, heißt Koeffizient. Letzterer kann auch eine all- 

 gemeine Zahl sein, wenn die Angabe, wie oft die Basis als Summand zu setzen ist, eine 

 allgemeine Zahl ist. 



Ist z. B. die Basis a //mal als Summand zu setzen, so haben wir « + a + a + . . . . 

 (Amal) := b . a. 



Die auf diese Weise entstehenden allgemeinen Ausdrücke mit gleicher Basis heißen 

 gleichnamig, z. B. 3a und 2a; im Gegensatze hierzu bezeichnet man Ausdrücke mit 

 ungleicher Basis als ungleichnamig, z. B. 6 a und Hb. 



ö. Gleichnamige allgemeine Ausdrücke werden addiert, indem man ihre Koeffizienten 

 addiert und dieser Summe die gemeinsame Basis anfügt. Es ist also 3 a + 2a = (« + «-- 

 + a) -■ (« + a) = 5 a. 



6 Bei ungleichnamigen Ausdrücken kann demnach die Addition nur durch Ver- 

 bindung mit dem + Zeichen angezeigt werden. Z. B. 3 a? + 2 y = 3 rr + 2 y ; dagegen S x -\- 

 2 2/ + 2 a; + 6 2/ = 5 x -h 8 y. 



Aufgaben. aJ c -^ d + (b ^ a -f / + ^)=? bj (a + i + c + rf) + (e +/ + // + //) =? 

 '■J 2x + (3// -1-4 2 + 5H + a;)=? dj 13 ?t + (16 i< — 15 m) =? ej Ux-{-{bp—6x) =? fj 22 s -'- 

 + (l(i .T -J- 17 y — lü Ä!) =? ff) a; + a; + aj + a; =? Ay) y + 2/ + y + . . . (mmal) =? ij Ü m + 

 + 2m-\-mz=? kj^^-a^ "^ « + A a + *- a = ? Z; 5 w +4n + 2 w + w = ? mj yx -{-y y -{- -^ x -\- 

 ^^y =9 nj Hx + S-x^ 2y ic + 3 ;' .r = ? o) 0-7 b + O'ü '• -j ■ 3-4 b - j- 7-(i d = ? p) ^'^ .r + 

 I- 0-.<a; + 3-Äa? + -Ja:=? 



i^ 56. Die Suljtraktion allgemeiner Zahlen. 



1. Zwei allgemeine Zahlen werden subtrahiert, indem man sie mit dem — Zcichon 

 verbindet. Soll sonach von « die Zahl /> abgezogen werden, so erhält man die Diffenmz 

 in a — b. 



2. Gleichnamige Ausdrücke worden subtrahiert, wenn man ihre Koeffizienten sub- 

 trahiert und die so erhaltene Differenz der gemeinsamen Basis vorsetzt. Z. B. 3 (» — 2 « =: 

 = a 1 • a ~|- a — a —a =^ \ a - - a. *) 



•) Statt des Koefl'iziunten 1 in l a sciireibt man nur «, d. Ii. man läßt den Faktor 1 

 einfach weg. 



