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3. Bei ungleichnamigen Ausdrücken kann die Subtraktion nur durch Verbindung 

 mit dem — Zeichen angedeutet werden, z.B. 3 a; — 2 y. Kommen indessen innerhalb eines 

 mehrgliedrigen Ausdruckes mehrere gleichnamige Ausdrücke vor, so werden zuerst die 

 Addenden, dann die Subtrahenden addiert, worauf die Summe der letzteren von der 

 Summe der ersteren abgezocjen wird. Man sagt in solchen Fällen, der mehrgliedrige 

 Ausdruck wird auf einen einfacheren Ausdruck gebracht oder „reduziert". 

 Z. B. 6a + 3J — 5rt + 2^'-f7a— 3?' = (6a + 7ff) — 5a+(3?>-f2'') — 36=13a — 5a + 

 ^^l— 3h = SaJr2b. 



4. Soll von einer allgemeinen Zahl eine Summe subtrahiert werden, so subtrahiert 

 man von derselben der Reihenfolge nach die einzelnen Summanden. 



In dem Beispiele 8 — (3 + 1) kommt man zu demselben Resultate, ob man von 8 

 die Summe 3 + 1 = "l? oder der Reihenfolge nach jeden der einzelnen Summanden 3 und 1 

 abzieht. Es ist also 8 — (3 4^ 1) = 8 — 3 — 1, oder auch allgemein a — (f> -^ o = a — b — c. 



5. Soll von einer allgemeinen Zahl eine Differenz subtrahiert werden, so wird von 

 derselben der Minuend abgezogen, der Subtrahend aber addiert. 



Zur Erläuterung dieses Satzes diene das Beispiel 10 — (8 — 3). Dieser Rechnungs- 

 ansatz sagt, daß ich nicht 8 Einheiten von 10 wegzunehmen habe, sondern deren nur 

 8 — 3, mithin 5. Wenn ich also 8 Einheiten von 10 wegnehme, so muß ich zu der so 

 erhaltenen Differenz 3 dazu zählen, um das richtige Resultat zu erhalten. Es ist also 

 10 — (8 — 3) = 10 — 8 — 3, oder allgemein a — {h — c) — a — b -\- c. 



§ 57. Folgerungen für das Auflösen von Klammern. 



Aus Punkt 2 und 3 des § 55 und Punkt 4 und 5 des § 56 ergeben sich folgende 

 Regeln: 1. Steht vor einer Klammer ein -|- Zeichen, so kann man die Klammer 

 ohne weiteres weglassen, und 2. steht vor einer Klammer ein — Zeichen, so 

 verwandeln sich die Zeichen innerhalb der Klammer bei deren llinweg- 

 lassung in die entgegengesetzten, also ein -p in — und umgekehrt. 



Allgemein ausgedrückt lauten diese Gesetze: a -\-b -^ {c — d — e — /; =z a -\- b -\- c -\- 

 -\- d - e — /, und o-j-^ — {<^ -\- d — e — f) = a -^ b — c — d — e ~f. 



Aufgaben zu § 55, ij 5t; und § 57. 



aj 6 m — 3 w =? bJ6x — 6x=l cy 13 y + 3 y =? dj^m{-^ m — -^- m =? ej S x -}- 

 -^rCiy + x)=? fj 10 x-\- (bx-y)=? ffjlb m - (10m + 2 «) ==? /»^ 15 m — (10 ra - 2 «) =? 

 i; y t* — 5 a = ? ^^ a; + 3 a; — 4f .r -f 12 :c — 7 .*■ = ? ?J 5 a — 3 i!» -;- 6 a -f- 7 i — « -f- i = ? 

 mj Qa— {2 a — 3 a + 5 a -j- J) = ? nj 9 a; + 3 ?/ — (5 .r -f 3 y — 7 x — 15 ?/) = ? oj 7 b — 

 — (6 5 — 4 <') = ? /)^ 16 fi — (7 < + 6 M -f 3 < — 12 * — 17 c — 14 z<) = ? 



§ 58. Die Multiplikation allgemeiner Zahlen. 



1. Das Produkt 5.6 bedeutet, daß die allgemeine Zahl b 5mal zu nehmen 



ist, also bb = b-^b-{-b~ b-\-b:=b.b = [)b. In gleicher Weise zeigt das Produkt a . b 

 an, daß die Zahl a . . . . 6mal als Summand zu setzen ist, also a -^ a -\- a -\- a . . . . ('^mal) 

 ^ a .b = a b. 



2. Die Reihenfolge, in welcher die einzelnen Faktoren miteinander multipliziert 

 werden, ist gleichgiltig. denn es ist 3.4 = 4.3 = 12, und a .b = b . a = a l>, ferner 3.4. 

 .5 = 5.4.3^=4.3.5 = 60, und a.b.<'=zc.b.a = b.a.r^=abc. 



3. Eine Zahl wird mit einem Produkte multipliziert, indem man einen Faktor 

 des Produktes mit derselben multipliziert. Es ist (4 . 3) ' 2 = 4 . (3 . 2) = 24 (nicht aber 

 4X2.3X2, denn dieses Produkt wäre 48 und nicht 24). Allgemein ist daher (.i . b) . c ^ 

 = (a . c) . i =: (b , c) . a ^= b c a= a b c. *) 



4. Erscheint eine Zahl mehrmals als Faktor, z. B. a . a . a . a, so wendet man für 

 ein solches Produkt eine kürzere Schreibweise an, indem man den Faktor nur einmal 

 anschreibt und durch eine rechts oben angesetzte Zahl anzeigt, wie oftmal dieser Faktor 

 zu nehmen ist. Es ist demnach a . a = a"^. a . a . a = a^, und a . a . a . . . {mmal) ^ a»«. 

 Ein Produkt aus gleichen Faktoren nennt man eine Potenz und sagt, eine Zahl ist zur 

 2., 3., 4., . . . . /((teil Potenz erhoben, wenn diese Zahl 2, 3, 4 ... . oder //;mal als Faktor zu 

 setzen kommt. Der zu potenzierende Faktor heißt die Basis, und die rechts oben stehende 



*) Bei (a.b).c soll die Klammer nur andeuten, daß das Produkt ab mit der all- 

 gemeinen Zahl c zu multiplizieren ist. Das Produkt ahc bedeutet schon das Resultat, denn 

 die angezeigte Multiplikation wurde bereits verrichtet; man kann deshalb die Klammer 

 ohne weiteres weglassen. 



