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Es bedeutet hienach z. B. -- 5, daß ich zu Null 5 positive Einheiten hinzuzuzählen 

 habe, um auf — 5 zu kommen, während — 6 sagt, daß ich von Null 6 positive Ein- 

 heiten abzuziehen habe, um — 6 zu erhalten. Die Differenz 5 — 8 zeigt an, daß ich von 

 Null auf der Zahlenlinie um ö Einheiten nach rechts fortzuschreiten und nun 8 Einheiten 

 nach links zurückzugehen habe, wodurch ich links über hinaus nach —3 komme; es 

 ist daher 5 — 8 = — 3 usw. 



Die Zeichen — oder — , welche man den Zahlen voransetzt, heißen Vorzeichen 

 und geben an. ob die Zahl aus liinzuzuzählenden oder abzuziehenden Einheiten besteht. 

 Zahlen, welche mit einem Vorzeichen versehen sind, nennt man algebraische Zahlen, 

 zum Unterschiede von den ursprünglichen Zahlen, welche absolute Zahlen o-enannt 

 werden. Es sind also -j- 5, — 3, oder ~j- a, — h algebraische Zahlen. Eine solche Zahl 

 besteht aus dem Vorzeichen (— oder — ) und dem absoluten Werte oder Zahlen- 

 werte, welcher entweder eine besondere oder eine allgemeine Zahl sein kann; z. B. 

 4-7, — 7, oder bei allgemeinen Zahlen -f a, — o. Das Vorzeichen — kann der Kürze 

 wegen bei einer positiven Zahl, welche für sich allein oder am Anfange eines mehr- 

 gliedrigen Zahlenausdruokes steht, weggelassen werden, das Vorzeichen — dagegen muß 

 bei einer negativen Zahl jederzeit angeschrieben werden. Man schreibt also a — S, und 

 nicht -\- a — b. 



-S : ^7 ■ .'-e -S -! 



Über den Begriff der algebraischen Zahlen möge für den Anfänger noch folgendes 

 zur Erläuterung dienen: 



Die positiven und negativen Zahlen verhalten sich zueinander wie die Richtungen 

 vorwärts und rückwärts, aufwärts und abwärts, rechts und links, oder wie Vermögen 

 und Schuld, Einnahme und Ausgabe usf. Wenn jemand in einer bestimmten Richtung 

 30 Schritte vorwärts und dann auf derselben Linie 25 Schritte rückwärts geht, so ist er 

 doch nur um 5 Schritte vorwärts gekommen. Jemand hat 1 K Vermögen und 5 A' 

 Schulden und verwendet ersteres zur Zahlung seiner Schulden, so bleiben ihm doch 

 noch 4 A' Schulden. Jemand nimmt ISA" ein, und gibt Ib^ ^K aus, so bleiben ihm 

 21 2 A' usf. 



Das Rechnen mit algebraischen Zahlen bezeichnet man kurz aucli als Algebra. 



i; 61. Die Addition positiver und negativer Zahlen. 



Bei Festhaltung der Begriffe „positive'" und „negative" Zahlen in Form der 

 Vorstellung von Vermögen unH Schuld sind wohl unschwer folgende Schlüsse einzusehen- 



1. Eine positive Zahl (Vermögen) wird durch Hinzuzählen von weiteren positiven 

 Zahlen (Vermögen) um die absolute Größe dieser letzteren vermehrt; gibt man in der- 

 selben Weise zu einer negativen Zahl noch weitere negative Einheiten (also Schulden zu 

 Schulden) hinzu, so wird die erstere in derselben Weise um die Anzahl der hinzugegebenen 

 Einheiten vermehrt. 



Es ist also: 

 5 + (+ 3) = -I- (5 + 3) = 4- 8; allgemein a - (-|- 6) = + (a + 6) = a ~ b*) 



(— ft) + (— 3) = — (5 + 3) = — 8; allgemein (- a) -j (- ft) = — (a + 6) = _ « _ &**) 



Das Zeichen -| , mit welchem hier die Zahlen 5 und (-}- 3), sowie die Zahlen 

 ( — 5) und (-3) verbunden sind, gilt hier als Operations- (Rechnungs-) Zeichen, 

 weil es die mit den genannten Zahlen vorzunehmende Rechnungsart, d. i. eine Addition, 

 andeutet. 



2. Eine positive Zahl (V^ermögen) wird durch Hinzuzählen einer negativen Zalil 

 (Schuld) um so viele Einheiten kleiner, als die negative Zalil Einheiton enthält. Ist in 

 diesem Falle die negative Zahl (die Scliuld) größer als die positive (das Vermögen), so 

 kann nur eine negative Zahl (Scliuld) übrig bleiben, die ebenso groß ist. wie der ziffer- 

 mäüige Unterschied zwischen beiden Zahlen. 



6 -f (-3) = -|-(5-3) = 5 — 3= 2; allgemein a -| (-- b) = 

 6 -t- (— 8) = + ('> — 8) = 5 — 8 = — 3 ; allgemein a -| (— ft) :::= 



*) Nach dem Satze 1 J;; .'')7 kann die Klammer, wenn vor derselben ein 

 steht, ohne weiteres weggelassen woi'den. 



**) Nach dem Salze 2 t^ 67 müssen die Zeiciien, wenn vor einer Khuiunor ein — 

 Zeiclion steht, beim Weglassen der Klaiunior innorhalb dieser geändert werden. 



