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Durch Vereinigung der unter 1. und 2. gemachten Schlüsse gelangt man weiter zu 

 folgenden Begriffen und Folgerungen: 



3. Eine Summe aus positiven und negativen Zahlen bezeichnet man als eine 

 algebraische Summe. Dieselbe erscheint allgemein in der Form (+ a) -r (-r ^) + 

 -f ( — c) + (+ d) + ( — e) und ist nach dem Satze 1 und 2 =a + 6 — c -\- d — e. 



Hienach kann eine algebraische Summe als ein mehrgliedriger Aus- 

 druck dargestellt werden, indem man die Additions-(Operations-)Zeichen 

 wegläßt und die Vorzeichen als Operatiouszeichen ansieht. In der Regel 

 stellt man die algebraische Summe auch nur in dieser Form dar. 



Aufgaben: 



aj (-f 18) ^ (-f 5) =? hj (+ 18) + (— 5) =? cj (^ 3xy) + (+ xy) =? dj (+ 3 x y) + 

 -f(-2x2/)=? ej (— 7a)-(— 3a)=? f) (— 36 « J) + (+ 27 a i) =? ffj (+ S'ö a;) + 

 + (_a;)=? ä; (-3-5x) + (-x)=? ij 6z -^ {-2z) =^? *; A a2 + (+ ^ a2) =? IJ ^x^ + 

 4-(_A,c2)=? mj (+ 15-3 a-2) + (+ 9-2 a;2) + (— 16x2) = ? nj {+ 4 o«) + (+ 3 a2 /;) + 

 j- (_ 2 ai) + (+ 5 a2 6) + (1-5 o^) =^ oj — 702-13 o + (+ 81992 a) + (563-09 a) + (+ 85-58 «) = ? 

 jp; (33 -35) + (33 -35)=? qj [_ 2-5 x + (+ öf ?/)] + [- l| x + (- |z/)] = ? 



ij 62. Die Subtraktion positiver und negativer Zahlen. 



Hält man sich auch hier die Begriffe ^positive" und ,.negative" Zahlen in 

 Form von „Vermögen" und „Schuld" klar vor Augen, so werden folgende Schlüsse 

 unschwer verständlich: 



1. Eine positive Zahl (Vermögen) wird durch das Hinwegnehmen (Subtrahieren) 

 von positiven Einheiten (Vermögen) um die absolute Größe dieser Einheiten vermindert. 



Es ist 8 — (-r 5) = + (8 — 5) = 8 — 5 = 3; allgemein « — (—/>)= -p {a — b) = a — b. 



2. Eine positive Zahl (Vermögen) wird durch die Hinwegnahme von negativen 

 Einheiten (Schulden) um die absolute Größe dieser letzteren vermehrt, denn das Sub- 

 trahieren (Wegnehmen) von Schulden bedeutet das Abzahlen derselben und ist also der 

 Vermehrung des wirkliehen Vermögens gleich. 



8 — (— 3) = + (8 + 3) = 8 + 3 ; allgemein a — (— 6) = + (a + ft) = a + 6. 



3. Eine negative Zahl wird durch Hinwegnahme von positiven Einheiten in ihrem 

 Sinne vergrößert, denn von einer Schuld ein weiteres Vermögen wegnehmen, heißt die 

 Schuld vermehren. 



Es ist — 8 — (4-3) = — (8-f 3) = — 8 — 3; allgemein — a — (+ 6) •= — (a-i-6) = — «- 6. 



•4. Eine negative Zahl wird durch Hinwegnahme von negativen Einheiten in ihrem 

 absoluten Werte kleiner aus dem unter 2 erwähnten Grunde. 



_ 8 — (— 3) = — (8 — 3) = — 8 — 3; allgemein — a — (— 6) = — (a — 6) = — a-fft. 



Aus den Sätzen 1—4 folgt demnach die Regel: Zwei algebraische Zahlen 

 werden subtrahiert, wenn man den Minuend unverändert läßt und den 

 Subtrahend mit entgegengesetztem Vorzeichen als Operationszeichen 

 hinzufügt. 



Aufgaben: 



aJ 13 — (+6)=? i;i5 — (-9)=? c^ — 26 — (+13)--? (Zj — .33 — (— 47) = V 

 eJ 36« — (+27a)=? fj 56 6 — ( - 27 &) =? ^j — 58 x — (+ 36 .r) =? hJ —2Tby — 

 (— 13-8i/)=? i) — 15 »M — (+ 3-5 //«) + (+ 9 m) =? k) + 117 /i — (— 9 «) — (— 45 w) 

 + (— 27»)=? V ^x — {+~x)^{-\x)-(-irl\x)=^. mj Z& ah ~ (- b al) ~ 



(—16«/')=:? 



§ 63. Die Vereinigung von Addition und Subtraktion algebraischer 



Zahlen. 



1. Nach § 61, Punkt 3 und § 62, Regel 1 — 4, ist der algebraische Ausdruck 

 (+ a) + (+ i) — (+ c) + ( — d) — (— e) sofort in einen mehrgliedrigen Ausdruck auflösbar, 

 also (+ a) + (+ 6) — (+ c) + ( — d) — ( — e)=:a + 6 — c — d ~ e. 



2. Steht vor einer algebraischen Summe als zusammengehörigem Ganzen 

 ein + oder — Zeichen, so verwandelt man die algebraische Summe zunächst in einen 



