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Beispiele: 

 aj 3 a . 4 n *) = 12 «2. hj b x'^ . — Q xy =^ — 30 x^ y. cj — l'S a- m .2rii = — 2"C a'- m'^- 



2. Eine algebraische Summe (oder der entsprechende mehrgliedrige Ausdruck) 

 wird mit einer Zahl multipliziert, indem man jedes Glied derselben mit der Zahl 

 multipliziert. 



Der Beweis dieser Regel wird durch die folgenden Beispiele leicht erbracht. 



(12 + 6) . 3 = (12 + 6) + (12 -f 6) + (1 2 + 6) = 12 + 6 - 12 + 6 + 12 4- 6 = 3 . 12 ^ 3 . 6 = 



= 36 + 18 = 54. 



(a a- 6 -f c) . 2 = (a + & + c) -{- (a + i + c) = a + S + c + « + 6 + c = rt + a + ?) -;- 6 + '■ + 



+ c=:2a+25 + 2c. 



(yn -{- n — o — p) .3 = (in + n — o — p) + (m + w — o — i^) + (m + ?i — o — ^;.) = ju -)- ?i — o — 



— p -\- m -{- n — o — p -~ m -\- n — o — p = vi -\- m -}- 7n -\- n -\- n -\- n — o — o — o — p — p — 



— j} = 3 wi + 3 n — 3 o — '6 p. 



Man sagt also unmittelbar: (ix -\- 2y — 3 s) . — 2 x = — 8 x- — 4:xy-{-6 xs; öx- .(l — 



— 3 .t;2 + 4 x^) = 5 cc2 — 15 x^ -p 20 x'\ 



'S. Zwei mehrgliedrige Ausdrücke werden miteinander multipliziert, indem man 

 unter Beachtung der Vorzeichen jedes Glied des Multiplikands mit jedem Gliede des 

 Multiplikators multipliziert. 



Wird in (a -}- b) . (c -\- d) der Multiplikand vorläufig mit//? bezeichnet, so erhalten 



wir m . (c -{- d) = mc -{- md. Setzen wir nun statt ?« den entsprechenden Wert (a -\- b) 

 ein, so ist mc -\- md^=(a -^r b) .c -\- (a ■■\- b) . d = ac -\- b '^ ~ ad -{- b d. Man hat sonach 

 (« -f 5) . (a -I- 6) = a2 u, a 5 + a 6 -f 62 = a2 -f 2 a i -f &2. 



Bei solchen Multiplikationen schreibt man die gleichnamigen Größen gewöhnlich 

 untereinander und hat dann: 



(« + &).(« + b), ferner (a — b) .(a — b) oder (a -p h) . {a — b) 



(a + i).a. . . . a2 + a& a^ — ab a2_j_„j**) 



[a + b) .7) . . . . -j- « 6 -f &2 _ a J _j_ 52 —ab — b^ 



a2 -|_ 2 a & -f 62 «2 — 2 a 6 + 62 ~a2 — 6^ 



Auf dieselbe Art erhält man (« — 6) . (a -f- 6) . (a + 6) == («2 _ 2 « 6 — b^) . (a — 6) = 

 = «3 + 3 «2 6 — 3 « J2 _ i3. 



Aufgaben: 



a^9a. + 6 6=? 6^ — Li c . -f 3-5 rf =? c^; 16| e . — |/ = ? d^ -f- a; . — -|- a; =? 

 ej (48»/«-^17«).4o=? fj (12y a - 7|6) . — i- c =? yj (19 x -f 15 2/) . (|x - 1 2/) =? 

 ä; (36«— 27 6).(5c+36)=? i) (3-| r/i — öf«) . (e^-m — 7^,«) =? kj [i2a + (— 96)]. 

 J5«_(_6c)]=? IJ (a — l).(a — 4).(a — 7).(a — 10)=? mj (2 o — 6) . (4 « + 3 6) . 

 .(6 a — 5 6)=? nj (13 a; + 5 y + 7 z) . (16 a; — 3 3^) =? oj (36 a2 -|- 36 a 6 + 9 62) . (6 a — 



_36) = ? J5y) (?/2 + 2 i^ S + 22) . (y2 _ 2 2/ 2 4- 2!2) = ? qj («2 _ 52) . («2 _ £2) , («2 _^ 52) = ? 

 rj (ilf 2 — W2) . (Jtf 2 -j- w2) =3 ? 



§ 65. Die Division algebraischer Zahlen. 



1. Zwei algebraische Zahlen durch einander dividieren heißt untersuchen, wie oft 

 der Divisor im Dividende enthalten ist. Es muß also das Produkt aus dem Quotienten 

 mit dem Divisor gleich sein dem Dividend. 



Auch bei der Division kommen dieselben vier Fälle wie bei der Multiplikation (i< 64) 

 in Betracht: 



*) Hier kommen selbstredend außer der Beachtung des Vorzeichens des Produktes 

 noch die Regeln für die Multiplikation allgemeiner Zahlen zur Anwendung. 

 **) — rt5 und — «6 geben addiert 0, ..sie heben sich auf". 



