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Wird dieser letzte Ausdruck für Z- in Worte gekleidet, indem hiebei berück- 

 sichtigt wird, daß die Potenzen von 10 die Stellenwerte der einzelnen Posten be- 

 zeichnen, so ergibt sich folgende Regel für die Bildung des Quadrates einer mehr- 

 ziffrigen Zahl: 



Zuerst wird das Quadrat der höchsten Ziffer der Basis gebildet. Alsdann wird 

 jede folgende Ziffer der Basis mit einer Zahl multipliziert, welche die Summe aus dieser 

 folgenden Ziffer und dem Zwanzigfachen des ihr vorausgehenden Basisteiles ist. Das 

 Quadrat der höchsten Ziffer und die Produkte werden der Reihe nach um je 2 Stellen 

 weiter nach rechts angeschrieben und addiert. Z. B.: 



2378'- = ? 



22 = 4 

 :} -t :iO X 2 =43, ... 43X3= 129 



7 — 20 X 23 == 467, ... 467 '< 7 = 3269 



8 — 20 X 237 = 4748 . . . 4748 ^< 8 = 37984 



5,654.884 = 237s-. 

 Beispiele: 



(a — 6)2 =: a2 + 2 a . — i -f (— 6)2 = a2 — 2 a i + R*) 

 (3 X — 2/)2 = (3 a;)2 + 2 . 3 o; . - y + (— yV- = 9 a;2 — 6 .r ;/ ^ y-. 



(X - 2y -f 32)2 = (a; — 2 (/)2 + 2 (.r - 2y) . 3z -f (3^)2 = a;2 O- 2a; . ( - 2 (/) -f (— lijY - 

 -f- 6 .'3 — 12.y 2 + 932 = a;2 — 4 »y + 4 ?/2 + 6 xä — 12 ?/ z + 9 ^2. 



Aufgaben: 



aj{x-V\y; (x-l)2; (3 a + 4 6)2, (^^-^-y. 



6; (a+ 26 + 3c)2; (^_2y — 32)2; (2 a + 4 6 — 6 c)2. 



c) (m •-}-2n-|-3o-f4;j)2; (bx — Sy-Jr^^ — & «)-■ 



§ 68. Das Quadratwurzelziehen. 



Hat man aus einem geordneten mehrgliedrigen Ausdrucke die Quadratwurzel zu 

 ziehen, d. i. eine Zahl zu finden, welche, mit sich selbst multipliziert, den gegebenen 

 mehrgliedrigen Ausdruck (Radikand) gibt, so muß man das Verfahren beim Quadrieren 

 umkehren. Hienach ist in dem Beispiele 



, das erste Glied des Radikanden das Quadrat 



y a2 -f 2 « 6 -f 62 =: a _|_ j_ ^^^ ersten Gliedes der Wurzel; letztere ist da- 



her y a2 = a. Subtrahiert man nun das (Quadrat 



= + 2 a 6 + 62 . . . -j- 2 a 6 : -f 2 a = + 6. (jgg ersten Gliedes der Wurzel, so enthält das 

 + 2 a 6 + 62 gj,g(.g QX\Q(\. des Restes 2 a 6 -f ir- das doppelte 



— Produkt aus dem ersten und zweiten Gliede, 



= = und das zweite Glied des Restes das Quadrat 



des zweiten Gliedes der Wurzel. Es ist daher 

 2n/':2a = b, d. i. dem zweiten Gliede der Wurzel. Alsdann wird das doppelte l'rodukt 

 aus dem ersten und zweiten Gliede und das Quadrat des zweiten Gliedes gebildet und 

 subtrahiert. Wären noch mehrere Glieder im Radikand vorhanden, so müßte das Ver- 

 fahren im Sinne des Quadrierens fortgesetzt, also der vorbleibende Rest durch das 

 doppelte Produkt aus den beiden ersten Gliedern der Wurzel dividiert werden, um das 

 dritte Glied der Wurzel zu erhalten usw. 



Hieraus ist dia Regel für das Ausziehen der Quadratwurzel aus einer dekadischen 

 Zalil leicht zu erkennen, 



Aufgaben: 



uj Erhebe zum Quadrat (3 « — 4 6), («2 _j- i)^ (2 a -|- 3 6 — 4 <■), und ziehe aus jedem 

 Resultate die Quadratwurzel. 



I>) Ya-- 2 «6 4- 6'- cj Y^xi — a.ry-j-y-i; d ) Y x""- — \xy -\- 'iy^ + Qxz- -\2y z + ^z\ 



sj 69. Das Kubieren. 



Der Kubus der Zalil a ist a-\ der Kubus eines Binoms a -|- 6 ist (rt --- 6);'; («r -j- 6)-' = 

 = (« -j- 6) . (a -I- 6) . ( a -|- 6) = (« -|- 6)2 . (« -|- 6) = («2 .j^ 2 a l> + 62) . {a -f 6) = 

 (a2 -I- 2 g 6 + 62) . (a -|- 6) 

 a:' + 2 «2 6 -f a 62 



a2 6 -j- 2 a 6'J -)- 6^ 

 ar_jr3V2T+'3"„ 62 + 6:>, also {a + 6);' =: <( ' + 3 a'- /> -\- 3 a 62 .^ /,:». 



*) Denn ( - 6) . (— 6) = -(- /,: 



