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Der Kubus eines Binoms ist sonach gleich dem Kubus des ersten Gliedes, mehr dem 

 dreifachen Produkte aus dem Quadrate des ersten Gliedes mit dem zweiten Giiede, mehr 

 dem dreifachen Produkte aus dem ersten Giiede mit dem Quadrate des zweiten Gliedes, 

 mehr dem Kubus des zweiten Gliedes. 



Ist der Kubus des Trinoms a -^ b -\- c zu bilden, so erhält man denselben nach 

 vorstehender Regel, indem man {a + b) als das erste und -}- c als das zweite Glied eines 

 Binoms betrachtet. Es ist sonach (a + 6 + c)3 = [(a + J) + c]3 = (« + J)3 4- 3 (o + i)2 . c 4- 

 -r 3 (a 4- ^^) . c2 + c3 = a3 + 3 «2 Z. 4- 3 « 62 Jj_ &3 _[_ 3 (a + 6)2 . c + 3 (« + 6) . c2 + c3. 



Stellt man sich unter a -\- h -\- c eine nach dem dekadischen Zahlensysteme gebaute 

 Zahl vor, so ergibt sich aus dem obigen Ausdrucke für (a 4- ^ -f- f")^ folgende Regel für 

 die Bildung des Kubus einer mehrziffrigen Zahl: 



Zuerst wird der Kubus der höchsten (linken) Ziffer der Basis gebildet. Jede 

 folgende Basisziffer gibt 3 Bestandteile: 1. Das dreifache Quadrat der ihr vorangehenden 

 Zahl, multipliziert mit dieser Basisziffer, 2. die dreifache vorangehende Zahl, multipliziert 

 mit dem Quadrate dieser Basisziffer, 3. den Kubus dieser Basisziffer. Diese Bestandteile 

 werden so untereinander geschrieben, daß jeder folgende um eine Stelle weiter rechts 

 erscheint, und dann, so wie sie stehen, addiert. Z. B.: 



2483 = ? 



23^ 8 



3 X 22 X 4 48 



3 X 2 X 42 96 



43^ 64 



3 X 242 X 8 13824 



3 X 24 X 82 4608 



83 . . . 512 



15,252.992 = 2483. 

 Beispiele: 



(a — 5)3 = a3 4- 3 . a2 . — 6 4- 3 . a . (— 6)2 4- (— 6)3 = a3 — 3 «2 6 4- 3 a i2 _ fts. 

 (2 a — 3 6)3 = (2 a)3 4- 3 . (2 a)2 . — 3 6 4- 3 . 2 a . (— 3 6)2 + (— 3 6)3 = 8 flS — 36 a2 b + 



4- 54 a 62 _ 27 63. 



(x -f 2 i/ — 3 2)3 = (.T 4- 2 2/)3 + 3 . (.T 4- 2 2/)2 . — 3 2 4- 3 (x 4- 2 ?/) . (— 3 2)2 4- (— 3 s)3 = x^ + 

 ^3 .x-i . -{- 2y -}- 3 .X . (+ 2y)^ -{- (+ 2y)^ ^ (x^ + ixy + 4:y'^) . —9 z ^ {3x + 6y) . +9s^- + 

 + (— 27 23) = a;3 4- 6 a;2 2/ 4- 12 cc ^^2 4- 8 y3 _ 9 a;2 z — 36 .r jr z — 36 y2 z 4- 27 X 32 4_ 54 i/ 22 _ 



— 27 s3. 



Aufgab en: 

 aj (x+iy-, (a-l)3: (Sx^y)^; (2 + 4«)^; (^-4)3; (f-|)'. 

 bj (4 x — 2 i/ + 3 2)3; (a — 3 6 4- c)3; (7 .r 4- 9 y — 4 s)3. 



§ 70. Das Kubikwurzelziehen. 



Aus einem mehrgliedrigen geordneten Ausdrucke die Kubikwurzel ziehen heißt, 

 eine Zahl suchen, welche, dreimal als Faktor gesetzt, den gegebenen mehrgliedrigen 

 Ausdruck (Radikand) gibt. Der hiebei einzuschlagende Vorgang ergibt sich durch das 

 Zerlegen des Radikanden in jene Bestandteile, aus welchen derselbe beim Kubieren 

 hervorgegangen ist, sowie weiters durch das Abziehen dieser Bestandteile in entsprechen- 

 der Reihenfolge von dem Radikand. 



3 



]A«3 ^ sa>b -^ 3 a 62 -i- b's = a -\- h. 

 «3 . . . 4-a3 



^^ + 3 a2 6 4- 3 a 62 4- 7)3. 4. 3 „2 t : 4- 3 .«•.; = _. 5. 

 3 . «2 . ?, . . . . 4- 3 a2 ?, 



3 . a . 62 . . . . .~ . . . -1- 3 a 62 



63 7^ . . . + jn 



Das erste Glied des Radikands ist der Kubus des ersten Gliedes der Wurzel; 



3 



letztere ist y o3 = «. Subtrahiert man nun den Kubus des ersten Gliedes der 



Wurzel vom Radikand, so enthält das erste Glied des Restes das dreifache Produkt aus 



