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dem Quadrate des ersten Gliedes der Wurzel mit dem zweiten Gliede. Es muß daher 

 3 «26: 3 «2 = 6, d, i. dem zweiten Gliede der Wurzel. Alsdann wird der Reihe nach 

 gebildet und abgezogen 3 a- A, 3 ab'^ und b'K Wären noch mehrere Glieder im Radi- 

 kand vorhanden, so müßte das erste Glied des Restes dividiert werden durch 3 (a -r ''')-) 

 um ein drittes Glied c der Wurzel zu erhalten, worauf der Reihe nach wieder zu sub- 

 trahieren kämen 3 {a -{- by . c, 3 (a -j- i) . c2 und c3 usw. 



Aus diesen Darlegungen ist das Gesetz, nach welchem aus einer dekadischen 

 Zahl die Kubikwurzel gezogen wird, mit Leichtigkeit zu entnehmen. 



Aufgaben: 



aj Erhebe zur dritten Potenz: (2 a + 3 i), (.•' -r 3 t/), (a — 2 i), (2.« — i z) und ziehe aus 

 den erhaltenen Kuben die Kubikwurzel. 



3 -A 



OJ ]/"x3 _ 3 .c^ + 3 .'• — 1 ; y a3 + 3 a2 i 4- 3 a i2 _|_ 53 -I- 3 (a 4- 6)2 c + 3 (a + öj c2 -i- c3. 



3 3^ 



'■J ya3__3a26_[-3a/,2__/>3; /'s a-^ — 36 a2 6 + 54 a /j2 — 27 b^i. 



V. Kapitel. 



Einiges Wesentliche von den einfacfisten Gleichungen. 



§ 71. BegrifFsfeststellungen. 



Der Begriff „Gleichung" wurde bereits S. 3 festgestellt und S. 75 erweitert. Es 

 erübrigt daher nur noch folgende Unterscheidungen zu treffen: 



Eine Gleichung von der Form 4 = 4, oder x == x, oder {a -\- by = a'^ -\- 2 a b -\- b- 

 heißt eine identische Gleichung;*) sie besteht für jeden besonderen Wert, den 

 man für die in ihr vorkommenden allgemeinen Zahlen einsetzt. Eine Gleichung von 

 der Form x -f 7 = 15 hingegen heißt eine Bestimmungsgleichung; sie gilt nur 

 für einen oder einige wenige besondere Werte der in ihr vorkommenden allgemeinen 

 Zahlen. In unserem Beispiele besteht die Gleichung a; -j- 7 = 15 nur, wenn x = 8 ist. 

 denn 8 + 7 ^ 15. 



Wir beschäftigen uns im folgenden mit den Bestimmungsgleichungen, welche 

 eine allgemeine Größe enthalten, und es wird dabei unsere Aufgabe sein, den Wert 

 dieser allgemeinen Größe zu ermitteln. Die allgemeine unbekannte Größe wird kurz als 

 Unbekannte, und die Gleichung selbst als „Gleichung mit einer Unbekannten" 

 bezeichnet.**) Kommt die Unbekannte nur in der ersten Potenz vor, so spricht man 

 von einer Gleichung ersten Grades, z. B. .<; | 7 = 15, kommt sie jedoch auch in 

 liöheren Potenzen vor, so hat man eine Gleichung zweiten, dritten Grades usf. vor sieh, 

 z. B. '^ |- 2 X = 13. Den Vorgang, nach welchem die Unbekannte bestimmt wird, nennt 

 man das Auflösen der Gleichung. 



ij 72. Das Auflösen der Gleichungen ersten Grades mit einer 



Unbekannten. 



1. Grundsätzo und Regeln. 



Der llauptgrundsatz für das Auflösen der Gleichungen wurde bereits Seite 75 

 und 70 aufgestellt. Er lautet: Wenn man Gleiches mit Gleichem vornimmt, erhält 

 man wieder Gleiches. Aus diesem Satze ergeben sich die Seite 75 und 76 ab- 

 geleiteten Grundsätze 1 bis 6, die sich nun wie folgt erweitern hissen:***) 



*) identisch (lat.) = ebendassell)e, ein- und dasselbe, Identität ^^ Einorloihoit. 

 *'') Es gibt auch Gleichungen mit 2, 3 und mohrüren Unbekannten. .Man spriclit 

 dann von Gleichungen mit 2, 3 und mehreren Unbekannten, /.um Unterschiede von den 

 für uns in Betracht kommondon (Jleieliungen mit einer Unbekannten. 



***) Wenn die Auflösung der einfachsten Gleichungen obligat vtM'lan^it wird, kommen 

 diese bei der „Formcllchro" autgeführlon Gesot/o hier oin/.uflechten. In diesem Falle 

 wird man aber die „Formollehre" erst nach den (üeiehuiigen vornehmen, die sich dann 

 in allen Punkten von selbst ergibt und daher beinahe ganz entfaHon kann. 



