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7. Jedes Glied einer Gleichung kann auf die andere Seite mit dem 

 entgegengesetzten Zeichen überstellt werden. 



Es ist aj -f- 7 = 15 , allgemein .r ~ m == n 

 nach Grundsatz 2) — T = — 7 — m = — m 



also auch a;=15 — 7 r = « — »n. 



Man kann daher beispielsweise die Gleichung: 



8 a: + 12 = 24 — 4 .'- auch schreiben 8 .t — 4 .-c = 24 — 12. 



8. Brüche lassen sich aus einer Gleichung dadurch wegschaffen, daß 

 man sämtliche Glieder mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller 

 Nenner multipliziert. 



Es ist ^ = 2. oder 4" + 4- == -^ 



4 2 ' 3 b 



nach Grundsatz 3). j. 4 = 2. 4 (T + f)-6=y-6 



3.r -f 2a;= 1. 



9. Die Unbekannte läßt sich von dem ihr anhaftenden Koeffizienten 

 befreien, wenn man die ganze Gleichung durch diesen Koeffizienten 

 dividiert. 



Ist 6x— 12, oder 3 a- -{- 2 x = 1 



so ist —r- = — 5 .T = 1 



6 6 







Nach diesen Erklärungen ergibt sich für das Auflösen der Gleichungen 

 folgende Regel: 



1. Auflösung der durch Klammern verbundenen Ausdrücke auf beiden Seiten 

 der Gleichung. Z. B. 2 ix — 4) = — (.'— 1); aufgelöst 2 .r — 8 = — ,r -f 1. 



2. Wegschaffen der Brüche, falls solche in der Gleichung vorkommen, durch 

 Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen 



der vorhandenen Nenner. Z. B. ^r + y + T ~ -^'^^ Brüche weggeschafft 6 x + 4 .^ -j- 



-^ 3a;= 13. 12. 



3. Zusammenbringen und Zusammenziehen sämtlicher Glieder, welche die Un- 

 bekannte enthalten, auf der einen, und jener, welche bekannte Größen bedeuten, auf 

 der anderen Seite der Gleichung (nach Satz 7, S. 94). Z. B. 2x — 8 = — x — \ : 

 Glieder geordnet 2a; + ^=l-r8, oder 3 a; = 9. 



4. Befreien der Unbekannten von dem Koeffizienten, indem man beide Seiten 



9 

 der Gleichung durch den letzteren dividiert (nach Satz 9j. Z. B. 3 a; = 9, x = y ^ 3. 



5. Erscheint in einer Gleichung, welche man nach der Regel 1, 2, 3 und 4 auf 

 die einfachste Form gebracht hat. die Unbekannte in der zweiten oder dritten Potenz, 

 so zieht man aus beiden Seiten der Gleichung die Quadrat-, beziehun gswe ise die Kubik- 

 wurzel, um die Unbekannte selbst zu erhalten, z. B. x~ = lQ. y .r^ =: y 16, also 



.•1 ä 



x — i; oder y^ = 27, Y ip = Y 27, i/ = 3. 



6. Erhält man. nachdem die Gleichung auf die einfachste Form gebracht wurde, 

 die Quadrat- oder Kubikwurzel der Unbekannten, so erhebt man beide Seiten der 

 Gleichung auf die zweite, beziehungsweise die dritte Potenz, um die Unbekannte selbst 



_ 3 3_ 



zu erhalten. Z. B. ]^= 2. (]^ xy = 2\ also.T = 4; oder YJ=3, (K.v)^ = '^'^ also 



i/ = 27. 



II. Übungsbeispiele. 



aJ3(x^ 8) = 5(x- 8) ^ :L + :L .^ 39 =. 3x 



3 a; + 24 =5 ,r — 40 . . . (Regel 1) ^ 2 ^ 3 ^ 



24-40 =5 .T— 3x. . . (Regel 3) 3 x ^ 2 x -- 2.S4 = 18x . . . . (Regel 2) 



64 = 2 X 234 = 18 X — 3 X — 2 X . (Regel 3) 



32 = X (Regel 4) 234 = 13 x 



'^ 18 = X (Regel 4) 



*) Dieses Wegschaffen des Koeffizienten ergibt sich auch aus der einfachen Schluß- 

 rechnung. Wenn 5x=l, also das öfache einer Größe = 1 ist, so ist das Einfache dieser 



Größe = dem 5ten Teile ^= —. Wenn a . >/ = h. also das rr-fache einer Größe y gleich >■ 

 ist, so ist das Einfache dieser Größe y der a-te Teil von '-, also ^= '. 



